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Menge (Gruppierung mathematischer Objekte)

Allgemeines über die Sprachweise in der Mathematik

Jedes naturwissenschaftliche Fach hat seine "eigene" Sprachweise, beispielsweise die Elementsymbole in der Chemie. In der Mathematik gibt es auch eine Vielzahl von Schreibweisen, beispielsweise eine Gruppierung von Werten oder Variablen. Diese Gruppierung wird in der Mathematik als Menge bezeichnet. Gemäß der mathematischen Definition ist Menge eine Zusammenfassung von mathematischen Objekten (also Zahlen, Buchstaben). Die zusammengefassten Objekte gehören zur Menge und werden als Elemente der Menge bezeichnet

Die Menge - eine Zusammenfassung von mathematischen Objekten

Wie eingangs erwähnt, ist eine Menge ein mathematisches Objekt, dass selbst eine Zusammenfassung von mathematischen Objekten. Im ersten Augenblick erscheint die Gruppierung von Werten, Variablen zu einer Menge als "banal". Eine genau Beschreibung einer "Menge" ist aber für viele (physikalische) Vorgänge entscheidend. Wäre eine Menge nicht eindeutig definiert, wäre ein Prozessor eines Computers nie in der Lage, Daten zu verarbeiten, Gruppen zu vergleichen o.ä.

Beginnen wir einfach: Ist ein Objekt (nehmen wir z.B. die Zahl 5) Teil der Menge M, so beschreibt man diese "Sachverhalt" mathematisch eindeutig: 5∈ M (=> 5 ist ein Element von M). Ist die Zahl 5 kein Teil der Menge M, so streicht man das "∈" schräg durch, was bedeutet "ist keine Teilmenge" von. Mit Hilfe dieser beiden Ausdrücke können wir jedes mathematische Objekt eindeutig einer Menge zuordnen oder zeigen, dass das Objekt nicht Teil der Menge ist.

Natürlich wollen wir auch Mengen miteinander vergleichen (z.B. Messwertergebnisse von Versuchen). Auch eine Menge kann wieder eine Teilmenge einer anderen Menge sein. Dabei wird z.B. eine Menge M als eine Teilmenge einer Menge N bezeichnet, wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist (dies wird mathematisch so ausgedrückt: M ⊆ N bzw. N ⊇ M, "ist Teilmenge von"). Oft wird in der Mathematik aber vereinfacht: Gilt A ⊆ B und B ⊆ A, so sind die Mengen beide gleich und man kann auch A = B schreiben

Sind nicht alle Elemente der Menge M und Menge N gleich, so gibt es die sogenannte "Schnittmenge" und die "Vereinigungsmenge".

  • Schnittmenge der Menge M und Menge N:  Die Schnittmenge (der Menge M und N) sind alle Elemente, die Elemente von M und von N sind. Mathematisch geschrieben als: M ∩ N
  • Vereinigungsmenge der Menge M und Menge M: Die Vereinigungsmenge (der Menge M und N) sind die Elemente, die Elemente von M oder von N sind. Mathematisch geschrieben als M ∪ N

Alle Elemente von Mengen werden durch eine geschweifte Klammer zusammengefasst: M = {a, b, c} (dies wird als aufzählende Darstellung bezeichnet, in höheren Klassen wird oft eine beschreibende Darstellung gewählt,z.B: A:={a| a ∈ R))

Beispiel:

M = {1, 2, 3} und N = {1, 2, 3, 4]

  • M ist eine Teilmenge von N: M ⊆ N
  • M ∩ N ={1, 2, 3}