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Die Faktorregel der Integration (Integralrechnung)

Allgemeines über die Integration

Je nach Typ der Funktion, die integriert werden soll, gibt es verschiedene Methoden der Integration. Im Allgemeinen lautet die Integration zu der Funktion f(x) folgende Stammfunktion F(x) + C = ∫ f(x) dx.

Die einfachste Rechenregel der Integration ist die Faktorregel der Integralrechnung. Die Faktorregel wird bei der Integralrechnung angewandt, wenn sich (vor dem zu integrierenden Term) ein Faktor befindet, der unabhängig von der zu integrierenden Variablen. Liegt dieser Fall vor, kann dieser Faktor aus dem Integral gezogen werden.

Die Faktorregel bei der Integralrechnung

Wie eingangs erwähnt, wird die Faktorregel in der Integration bei Funktionen wie f(x) = au(x) bzw. F(x) = ∫ af(x)dx verwendet.

In diesem Fall darf der (von der Variable) unabhängige Faktor aus dem Integral gezogen werden und der übrige Term im Integral wird nach den entsprechenden Regeln der Integralrechnung integriert und das Integral anschließend wieder mit dem Faktor multipliziert. Die nachfolgende Formel zur Integration einer Funktion mit einem konstanten Faktor zeigt uns, dass wir den den Faktor "ohne zu Integrieren" diesen Faktor (unverändert) vor das Integral schreiben dürfen.
∫c⋅f(x) dx =c⋅∫f(x) dx = cF(x)

Die Faktorregel hilft uns also bei einer Integration einen zu integrierenden Term zu vereinfachen, indem wir einen konstanten Faktor vor das Integralzeichen ziehen und damit die Integration vereinfachen (wir müssen nur noch einen "kleineren" Term integrieren)

Beispiel:

  • f(x) = 10x
  • F(x) = ∫10⋅x dx =10⋅∫x dx = 10⋅1/2⋅x² = 5x² 


Beweis der Richtigkeit der Faktorregel

ab c⋅f(x) dx = [c⋅F(x)]a = c⋅F(b) - c⋅F(a) = c⋅[F(b)−F(a)] = c⋅∫af(x)dx

Um die Faktorregel der Integration zu beweisen, verwenden wir einfach die Definition eines Integrals. Das bestimmte Integral entspricht der Differenz zwischen Obersumme und Untersumme. ∫af(x)dx = F(b) - F(a)

.