Komplexe Zahlen sind nicht nur ein Hilfsmittel in der Mathematik, sondern werden auch in anderen Naturwissenschaften verwendet. Beispielsweise werden Ströme (in der Chemie oder der Physik) mit komplexen Zahlen beschrieben (z.B. bei Wechselströmen). Die Verwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung bzw. Beschreibung von Strömen soll nicht täuschen, dass all diese (Strömungs)werte immer reelle Zahlen sind (und auch so meßbar sind). Komplexe Zahlen dienen zur Vereinfachung von Berechnungen bei komplizierten Vorgängen (wie z.B. Elektronenströme bei Wechselspannung)
Wie erwähnt, dienen komplexe Zahlen der mathematischen Beschreibung von komplizierten Vorgängen in Naturwissenschaften. Dies zeigt sich bereits, wenn wir versuchen die Gleichung “x² = -1” zu lösen. Mithilfe der reellen Zahlen lässt sich diese Gleichung nicht lösen, da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist.
Da aber physikalische Größen aber manchmal eine solche Lösung benötigen, hat man die sogenannte “imaginäre Einheit” formuliert. Für diese Einheit gilt die Lösung: i² = -1. Damit sind nun auch quadratische Funktionen lösbar, deren Funktionswert negativ ist.
Diese imaginäre Einheit “i” ist aber nur ein mathematisches Hilfsmittel, um die Wurzel einer negativen Zahl beschreiben zu können. Daher bestehen die komplexen Zahlen aus zwei Teilen, nämlich einem Realteil und einem Imaginärteil. Damit ist eine komplexe Zahl folgendermaßen definiert.
Komplexe Zahl: z = x + y·i
Eine komplexe Zahl ist also die Kombination einer reellen Zahl mit einer imaginären Zahl. Dabei ist “x” in der komplexen Zahl der Realteil und y der Imaginärteil der komplexen Zahl z.
Für den Umgang mit komplexen Zahlen (Addition, Multiplikation) gibt es feste Rechenvorschriften. Das bedeutet aber nicht, dass wir uns eine komplexe Zahl (jetzt) vorstellen können. Komplexe Zahlen werden vor allem verwendet, um Ströme zu beschreiben (=> Ströme lassen sich auch in Vektorform darstellen). Daher verwendet man auch x,y-Diagramme, um eine komplexe Zahl darzustellen. Diese x,y-Ebene, in der die komplexe Zahl dargestellt wird, wird auch als komplexe Ebene oder Gaußsche Zahlenebene bezeichnet. Dabei beschreibt die x-Achse der komplexen Ebene den reellen Anteil der komplexen Zahl und die y-Achse beschreibt die imaginäre Einheit (daher wird diese Achse auch als imaginäre Achse bezeichnet). Daher kann im Umgang mit komplexen Zahlen auch die Rechenoperationen der Vektorrechnung verwendet werden. Jede komplexe Zahl lässt sich auch als Vektor beschreiben
Komplexe Zahlen
In der Regel ist die Vektorrechnung im Umgang mit komplexen Zahlen sehr kompliziert (wenn beispielsweise komplexe Zahlen addiert werden müssen). Daher hat man für die Addition, Division und Multiplikation von komplexen Zahlen einfache mathematische Rechenvorschriften formuliert.
Nachfolgend werden die Rechenvorschriften vorgestellt, dabei sind die beiden komplexen Zahlen z1 und z2 die Grundlage der Rechnungen
Wir wollen nun z1 und z2 addieren bzw. subtrahieren. Die Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen ist relativ einfach. Man addiert bzw. subtrahiert jeweils den Realteil bzw. Imaginärteil miteinander (jeweils getrennt). Würden wir die komplexen Zahlen mithilfe der Vektorrechnung lösen, so entspricht das Ergebnis (der Ergebnisvektor) der Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion beider Vektoren
Die Rechenvorschrift der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen lautet daher:
Hinweis: Die Rechenvorschriften “verlangen” die getrennte Addition bzw. Subtraktion des Realteils bzw. Imaginärteils. Bei der Lösung werden aber der berechnete Realteil und Imaginärteil miteinander addiert.
Wir wollen nun z1 und z2 miteinander multiplizieren. Die Multiplikation zweier komplexen Zahlen erscheint auf den ersten Blick komplizierte als die Addition, ist aber auch nicht schwieriger (nur ein paar Schritte mehr). Die Multiplikation von komplexen Zahlen folgt den Rechenvorschriften bei reellen Zahlen, daher nachfolgend das Ergebnis.
Die Rechenvorschrift der Multiplikation von komplexen Zahlen lautet daher:
Hinweise:
Normalerweise (bei reellen Zahlen) ist das Produkt zweier gleicher Zahlen immer positiv. Bei komplexen Zahlen ist das anders. Die Multiplikation der imaginären Einheit “i” miteinander, also i² entspricht dem Wert -1.
Oft hört man auch vom Betrag einer komplexen Zahl. Da wir eine komplexe Zahl auch als Vektor verstehen bzw. darstellen können, existiert auch der Betrag einer komplexen Zahl (wie auch bei Vektoren). Der Betrag eines Vektors entspricht dabei der Länge dieses Vektors. Bei der Berechnung des Betrags eines Vektors verwenden wir dabei den Satz des Pythagoras. Gleiches gilt für den Betrag einer komplexen Zahl. Unter dem Betrag |z| einer komplexen Zahl z versteht man den die Länge vom Ursprungspunkt bis zum Endpunkt. Die Formel zur Berechnung des Betrags einer komplexen Zahl lautet daher: |z| = √ (x² + y²) => Wurzel aus (x² + y²)
Komplexe Zahlen sind Zahlen, die sowohl einen Realteil (den normalen numerischen Teil) als auch einen immaginären Teil haben, welcher als ein Vielfaches von i (der imaginären Einheit) ausgedrückt wird.
Eine komplexe Zahl ist in der Form a+bi geschrieben, wobei a den realen Teil und bi den imaginären Teil der Zahl repräsentiert.
Die Imaginäre Einheit ist definiert als i, für das gilt: i² = -1.
Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht ihrer “Länge” im Koordinatensystem. Es handelt sich dabei um den Abstand zum Ursprung und wird berechnet mit der Formel |z| = √(a² + b²), wenn z = a+bi ist.
Komplexe Zahlen werden auf einer “komplexen Ebene” dargestellt, die einem zweidimensionalen Koordinatensystem ähnlich ist. Der Realteil bildet die x-Achse und der Imaginäre Teil bildet die y-Achse.
Die konjugierte komplexe Zahl zu einer gegebenen komplexen Zahl ist die Zahl, die entsteht, wenn man das Vorzeichen des imaginären Teils ändert. Die Konjugation von a + bi ist also a – bi und umgekehrt.
Wenn man eine komplexe Zahl mit ihrer konjugierten multipliziert, erhält man ein reales Ergebnis, das dem Quadrat des Betrags der Ausgangszahl entspricht.
Um komplexe Zahlen zu addieren oder subtrahieren, addiert oder subtrahiert man die entsprechenden reellen und die imaginären Teile der Zahlen getrennt voneinander.
Man multipliziert oder dividiert komplexe Zahlen, indem man das Distributivgesetz oder das Konjugationsverfahren anwendet. Insbesondere beim Dividieren kommt eine Form in den Zähler und Nenner, die die bestehenden i Termen eliminiert.
Komplexe Zahlen finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Technik. Vor allem in der Elektrotechnik und Quantenmechanik, aber auch in vielen Bereichen der Computergrafik und Signalverarbeitung.