Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Mit Hilfe des Baumdiagramms lassen sich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung mögliche Versuchsausgänge von Zufallsexperimenten darstellen und so die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Versuchsausgänge in einfacher Weise bestimmen.

Baumdiagramm

Allgemein versteht man unter einem Baumdiagramm die graphische Darstellung eines Experiment- bzw. Ereignisverlaufs. Jedes Experiment bzw. Ereignis wird schrittweise dargestellt. Der Vorteil des Baumdiagramms: Es spielt es keine Rolle, ob die Experimente mit oder ohne Wiederholung durchgeführt werden.

Ein Baumdiagramm besteht, ausgehend von einem Startpunkt auf der linken Seite des Blattes bzw. oben, aus einer Anzahl von Ästen, die von diesem Punkt weggehen. Jeder dieser Äste symbolisiert einen möglichen Ausgang des Experimentes (Zahl der verschiedenen Möglichkeiten = Zahl der Äste, z.B. ein Würfelwurf hat 6 mögliche Ergebnisse => 6 Äste gehen vom Startpunkt weg). Von jedem Ende des ersten Experiments (von jedem Ast), geht beim zweiten Experiment erneut eine Anzahl von Ästen aus, die den Ergebnissen dieses Zufallexperimentes entspricht.

Beispiel

Man wirft eine Münze, als mögliches Ereignis gibt es Wappen (w) und Zahl (z). Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des jeweiligen Ergebnisses ist 0,5 (50%). Da es sich um ein Laplace-Experiment (Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment bei dem davon ausgegangen wird, dass jeder Versuchsausgang gleich wahrscheinlich ist) handelt, konnte die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis leicht bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses berechnet sich somit aus: (Anzahl aller Möglichkeiten mit diesem Ergebnis): (Anzahl aller Möglichkeiten) => in diesem Fall: 1 : 2 = 0,5

Nun kann man ein Baumdiagramm für 3 Münzwürfe entwickeln.

Baumdiagramm für 3 Münzwürfe

Baumdiagramm für 3 Münzwürfe

Möchte man nun ein bestimmtes Ereignis ermitteln, so muss man nur den entsprechenden Pfad bestimmen, d.h. die Einzeilwahrscheinlichkeiten des Pfades werden miteinander multipliziert.

Beispiel: Man hätte gerne die Wahrscheinlichkeit, mit der zweimal hintereinander Wappen (w) erscheint und beim dritten Mal die Zahl (z).

Der entsprechende Pfad sieht also so aus: w,w,z Nun multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 0,5·0,5·0,5 = 0,125 => Die Wahrscheinlichkeit beträgt 12,5%.

Wie in der Einleitung beschrieben, kann das Baumdiagramm-Verfahren auch für Experimente “ohne Zurücklegen” verwendet werden.

Beispiel: Man hat 5 Kugeln, davon 3 schwarze und 3 rote Kugel. Nun zieht man nacheinander eine Kugel.

Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

Man kann die Einzelwahrscheinlichkeiten auch hier relativ einfach berechnen. Beim ersten Zug hat man noch 5 Kugel, davon 3 schwarze und 2 rote. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel 3/5 und für eine rote Kugel 2/5. Beim zweiten Ziehen darf man nicht vergessen, dass nun nur noch 4 Kugel vorhanden sind, zusätzlich muss beachtet werden, welche Kugel bei welchem Pfad nicht mehr vorhanden ist. Hat man z.B. bei ersten Ziehen eine schwarze Kugel gezogen, so hat man nur noch 4 Kugeln, davon 2 schwarze und 2 rote Kugeln. Somit ergibt sich für beide Farben jeweils die Wahrscheinlichkeit 2/4.


Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter einem Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten?

Ein Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ist ein visuelles Hilfsmittel, das benutzt wird, um die verschiedenen möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments darzustellen. Es zeigt alle möglichen Pfade und ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

2. Wie zeichnet man ein Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten?

Man startet von der linken Seite und schreibt das Ereignis auf der rechten Seite, jede Linie stellt einen möglichen Ausgang dar. Die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ausgangs schreibt man an die entsprechende Linie.

3. Was ist der Vorteil des Verwendens eines Baumdiagramms in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Der Vorteil des Verwendens eines Baumdiagramms in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist, dass es hilft, komplexe Probleme zu strukturieren und vereinfacht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Außerdem zeigt es alle möglichen Ergebnisse über einen Blick.

4. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit einem Baumdiagramm?

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades zum gewünschten Ereignis multipliziert.

5. Wie stellt man mehrstufige Zufallsexperimente in einem Baumdiagramm dar?

Mehrstufige Zufallsexperimente zeichnet man in einem Baumdiagramm so, dass jede Etappe einen neuen Ast darstellt. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten ihrer Pfade.

6. Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit einem Baumdiagramm?

Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man indem man alle Einzelwahrscheinlichkeiten der Pfade, die zum Ereignis führen, addiert.

7. Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit und wie stellt man sie in einem Baumdiagramm dar?

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird im Baumdiagramm an den entsprechenden Pfaden markiert.

8. Wie präsentiert man unabhängige und abhängige Ereignisse in einem Baumdiagramm?

Unabhängige Ereignisse werden in einem Baumdiagramm als Pfade mit gleichen Wahrscheinlichkeiten dargestellt, während abhängige Ereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben können.

9. Was bedeutet es wenn Pfade in einem Baumdiagramm sich kreuzen?

In einem Baumdiagramm bedeutet das Kreuzen von Pfaden, dass die betreffenden Ereignisse nicht gleichzeitig auftreten können – sie schließen sich gegenseitig aus.

10. Wie kann man die Wahrscheinlichkeit von mehreren unabhängigen Ereignissen in einem Baumdiagramm berechnen?

Um die Wahrscheinlichkeit von mehreren unabhängigen Ereignissen in einem Baumdiagramm zu berechnen, multipliziert man einfach die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Pfade. Wenn die Ereignisse abhängig sind, verwendet man stattdessen die bedingten Wahrscheinlichkeiten.