Zufallsexperiment in der Stochastik

Das Wort “Stochastik” steht für die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Beide Teilgebiet sind für fast alle MINT-Fächer von erheblicher Bedeutung. Aus diesem Grund soll auf Lernort-MINT.de in dieses Themengebiet eingeführt werden.

Begriffe in der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist definiert als ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann, d.h das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden (es kann nur eine Wahrscheinlichkeit angegeben werden).

Weiterhin kann man das Zufallsexperiment in einstufiges und mehrstufige Zufallsexperimente unterteilen. Wird ein Zufallsexperiment nur einmal durchgeführt, so spricht man von einem einstufigen Zufallsexperiment. Besteht nun ein Zufallsexperiment aus mehreren Einzelexperimenten, so handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.

Beispiele

  • Ist das Ergebnis eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment oder nicht? => Es ist ein Zufallsexperiment, da mehrere Ergebnisse möglich sind und das (genaue) Ergebnis nicht vorhersagbar ist.
  • Bei einem Würfel ist das Ergebnis entweder eine gerade oder ungerade Zahl => Es handelt sich hierbei um kein Zufallsexperiment, da nur nein Ergebnis bzw. Ereignis möglich ist. Das Ergebnis tritt in jedem Fall ein.

Der Begriff: Ergebnismenge (auch Stichprobenraum, oder Ereignisraum oder Ergebnisraum genannt) bezeichnet alle möglichen Ergebnisse eines (einstufigen oder mehrstufigen) Zufallsexperimentes. Ergebnisse sind dabei die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes. Zuletzt wird jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperimentes als Ereignis bezeichnet.

Beispiele – Würfel

Als erstes kann man die Ergebnisse bestimmen: beim Würfeln sind die Zahlen 1-6 möglich (jede Zahl ist ein Ergebnis des Zufallsexperimentes). Somit erhält man als zugehörige Ergebnismenge, alle Ergebnisse, die erwarten werden:  (1, 2, 3, 4, 5, 6}. Würfelt man nun zweimal und erhält die Zahl 2 und 6, so wird (2,6) als Ereignis bezeichnet, es ist das die Zusammenfassung aller Ergebnisse des Experiments.

Was auch für die Wahrscheinlichkeitsrechnung von Interesse ist (die sog. Komplementärregel):

Die Komplementärregel bedeutet, dass entweder das Ereignis oder das Gegenereignis eintritt und somit ist die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis plus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis gleich Eins. 

Daneben gibt es manchmal noch die Bezeichnung: Unmögliches Ereignis
Das unmögliche Ereignis enthält kein einziges Ergebnis, es tritt daher nie ein (z.B. Die Zahl 7 bei einem Würfel).


Zufallsexperiment in der Stochastik – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist ein Zufallsexperiment in der Stochastik?

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch oder ein Prozess, bei dem das Ergebnis von verschiedenen Zufallsfaktoren abhängt. Bei allen Zufallsexperimenten weiß man nicht im Voraus, welches Ergebnis eintreten wird.

2. Wie wird das Ergebnis eines Zufallsexperiments bezeichnet?

Das Ergebnis eines Zufallsexperiments wird als ein Ereignis bezeichnet.

3. Was ist der Unterschied zwischen einem einstufigen und einem mehrstufigen Zufallsexperiment?

Bei einem einstufigen Zufallsexperiment wird der Versuch nur einmal durchgeführt. Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment hingegen wird derselbe Versuch mehrfach und in verschiedenen Kombinationen durchgeführt.

4. Welche Art von Zufallsexperiment ist das Würfeln mit einem fairen Würfel?

Das Würfeln mit einem fairen Würfel ist ein einstufiges Zufallsexperiment, da der Würfel nur einmal geworfen wird.

5. Was ist der Ereignisraum eines Zufallsexperiments?

Der Ereignisraum eines Zufallsexperiments sind alle möglichen Ergebnisse, die auftreten können.

6. Was ist eine Laplace-Experiment in der Stochastik?

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

7. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Experiment?

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Experiment wird berechnet, indem die Anzahl der günstigen Ereignisse durch die Gesamtzahl der möglichen Ereignisse geteilt wird.

8. Wie kann man das Zufallsexperiment des Werfens zweier Würfel repräsentieren?

Das Zufallsexperiment des Wurfens zweier Würfel kann durch ein Baumdiagramm oder ein Vierfeldertafel dargestellt werden.

9. Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit in der Stochastik?

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

10. Was sind unabhängige Ereignisse in der Stochastik?

Unabhängige Ereignisse sind Ereignisse, bei denen das Eintreten oder Nicht-Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.