Es gibt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zwei Experimenttypen, die einem immer wieder begegnen. Das sind einerseits Laplace-Experimente (alle Ereignisse sind gleich wahrscheinlich) und auf der anderen Seite Bernoulli- Experimente (genau zwei Elemente in der Ergebnismenge).
In diesem Kapitel befassen wir uns nun, welche Bedeutung die Reihenfolge der Ereignisse für die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses hat. Mit dieser Thematik befasst sich die Kombinatorik, also wie sich die Anordnung bzw. Wahrscheinlichkeit von Ereignissen ändert, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.
Variationen treten auf, wenn wir aus einer bestimmten Menge mit n Elementen eine Anzahl an k Elementen (k ≤ n) entnehmen und diese unter Beachtung der Reihenfolge auslegen. Bei Variationen gibt es zwei Möglichkeiten, zum einen ist es möglich, dass kein Element mehrfach vorkommen darf, zum anderen sind auch Variationen möglich, bei denen ein Element mehrfach vorkommen darf. Dies muss bei der Verwendung der richtigen Formel zur Berechnung der Variation berücksichtigt werden (meist ergibt sich dies aus der Aufgabenstellung).
Zur Wiederholung: In einem anderen Kapitel haben wir uns mit der Permutation befasst, im Unterschied zur Variation werden alle Elemente ausgewählt (n-Elemente und n-Auswahlen bei der Permutation bzw. n-Elemente und k-Auswahlen bei der Variation)
Um die Variationen anschaulich darzustellen, beginnen wir mit einem Experiment: Wir haben vier Kugeln. Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich die schwarze, rote, blaue und weißer Kugel in einer Reihe hintereinander legen, wenn wir 3 Kugeln hintereinander ziehen?
Wir haben in diesem Fall ein Experiment, indem jedes Element (bzw. Kugel) nur einmal vorkommen darf. Zu Beginn haben wir 4 Kugeln vorliegen, daher kann man an erster Stelle 4 Kugeln ziehen. Für die zweite Position haben wir nur noch 3 Kugeln zur Verfügung. Wir haben also nur noch 3 Möglichkeiten, die zweite Stelle zu besetzen. Für die dritte Position haben wir noch 2 Kugeln zur Verfügung (als noch 2 Möglichkeiten).
Nun müssen wir nur noch die Gesamtanzahl bestimmen: an erster Stelle haben wir 4 Möglichkeiten, an zweiter Stelle 3 und an dritter Stelle 2 Möglichkeiten, ergibt zusammen: 4 · 3 · 2 = 24 Möglichkeiten.
Nun wollen wir uns die Formel für die Möglichkeiten bei der Variation ermitteln:
Wie im Beispiel der Kugeln gezeigt, gibt es beim ersten Ziehen n Möglichkeiten (aus n Elementen), da noch kein Element verwendet wurden. Nach dem ersten Ziehen, bleiben noch (n-1) Elemente übrig, die für das zweite Ziehen verwendet werden können. Also haben wir beim zweiten Zug der Anordnung noch (n – 1), beim dritten Ziehen sind es noch (n – 2) Möglichkeiten und beim k-ten Zug sind es noch (n – k + 1) Möglichkeiten.
Damit erhalten wir (Anordnungen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Elemente) folgende Möglichkeiten der Anordnung der Elemente:
Möglichkeiten = n · (n -1) · (n – 2) · (n – 3) · …. · (n – k + 1) = n! : (n – k)!
Haben wir nun eine Variation mit Wiederholung vorliegen, darf jedes Element mehrfach vorkommen. Daher gibt es beim ersten Ziehen n Möglichkeiten (aus n Elementen), da noch kein Element verwendet wurden. Nach dem ersten Ziehen, bleiben aber wieder n Elemente übrig, da für das zweite Ziehen alle Elemente verwendet werden können (Variation mit Wiederholung). Also haben wir beim zweiten Zug der Anordnung noch n Möglichkeiten, beim dritten Ziehen sind es wieder n Möglichkeiten und beim k-ten Zug sind es noch n Möglichkeiten.
Daher erhalten wir für die Anzahl der Variationen mit Wiederholung folgende Formel:
Möglichkeiten = n · n · n · n · …. · n = nk (“n hoch k”)
Die Kombinatorik befasst sich mit der Anzahl von Anordnung von einer bestimmten Anzahl an Elementen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Sind die Elemente unterscheidbar (und kommen diese nur einzeln vor) so spricht man von “ohne Wiederholung”. Sind die Elemente hingegen nicht unterscheidbar, so spricht man von “mit Wiederholung”, da jedes Element, dass bereits verwendet wurde, wieder verwendet werden kann.
Die Kombinatorik ist ein Bereich der Mathematik, der sich mit der Anzahl, der Auswahl und der Anordnung von Objekten innerhalb einer Menge beschäftigt.
Eine Variation ist eine Anordnung von Objekten, wobei die Reihenfolge der Auswahl relevant ist.
Im Gegensatz zu einer Kombination ist bei einer Variation die Reihenfolge der Objekte wichtig.
Bei einer Variation mit Wiederholung kann jedes Element mehrmals ausgewählt werden. Bei einer Variation ohne Wiederholung kann jedes Element nur einmal ausgewählt werden.
Durch die Formel V(n,k) = n! / (n-k)!, wobei “n” die Anzahl der Elemente und “k” die Anzahl der Anordnungen darstellt, und “!” das Produkt aller positiven Ganzzahlen bis zu dieser Zahl ist (Fakultät).
Durch die Formel V(n,k) = n^k, wobei “n” die Anzahl der Elemente und “k” die Anzahl der Anordnungen darstellt.
Mithilfe der Variation-Formel ergibt sich V(5,3) = 5! / (5 – 3)! = 60.
Mithilfe der Variation-Formel ergibt sich V(4,2) = 4^2 = 16.
Eine Permutation ist eine spezielle Form der Variation, bei der alle Elemente der Menge ausgewählt werden. Bei einer Variation werden nur einige ausgewählt.
Die Anzahl der Permutationen berechnet man mithilfe der Formel P(n) = n!, wobei “n” die Anzahl der Elemente darstellt.