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Variationen - Grundlagen der Kombinatorik


 

Allgemeines über Experimenttypen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik):

Es gibt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zwei Experimenttypen, die einem immer wieder begegnen. Das sind einerseits Laplace-Experimente (alle Ereignisse sind gleich wahrscheinlich) und auf der anderen Seite Bernoulli- Experimente (genau zwei Elemente in der Ergebnismenge).

In diesem Kapitel befassen wir uns nun, welche Bedeutung die Reihenfolge der Ereignisse für die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses hat. Mit dieser Thematik befasst sich die Kombinatorik, also wie sich die Anordnung bzw. Wahrscheinlichkeit von Ereignissen ändert, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.

Grundlagen der Kombinatorik - Variationen

Variationen:

Variationen treten auf, wenn wir aus einer bestimmten Menge mit n Elementen eine Anzahl an k Elementen (k ≤  n) entnehmen und diese unter Beachtung der Reihenfolge auslegen. Bei Variationen gibt es zwei Möglichkeiten, zum einen ist es möglich, dass kein Element mehrfach vorkommen darf, zum anderen sind auch Variationen möglich, bei denen ein Element mehrfach vorkommen darf. Dies muss bei der Verwendung der richtigen Formel zur Berechnung der Variation berücksichtigt werden (meist ergibt sich dies aus der Aufgabenstellung).

Zur Wiederholung: In einem anderen Kapitel haben wir uns mit der Permutation befasst, im Unterschied zur Variation werden alle Elemente ausgewählt (n-Elemente und n-Auswahlen bei der Permutation bzw. n-Elemente und k-Auswahlen bei der Variation)



Variationen ohne Wiederholung

Um die Variationen anschaulich darzustellen, beginnen wir mit einem Experiment: Wir haben vier Kugeln. Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich die schwarze,  rote,  blaue und weißer Kugel in einer Reihe hintereinander legen, wenn wir 3 Kugeln hintereinander ziehen?

Wir haben in diesem Fall ein Experiment, indem jedes Element (bzw. Kugel) nur einmal vorkommen darf. Zu Beginn haben wir 4 Kugeln vorliegen, daher kann man an erster Stelle 4 Kugeln ziehen. Für die zweite Position haben wir nur noch 3 Kugeln zur Verfügung. Wir haben also nur noch 3 Möglichkeiten, die zweite Stelle zu besetzen. Für die dritte Position haben wir noch 2 Kugeln zur Verfügung (als noch 2 Möglichkeiten).

Nun müssen wir nur noch die Gesamtanzahl bestimmen: an erster Stelle haben wir 4 Möglichkeiten, an zweiter Stelle 3 und an dritter Stelle 2 Möglichkeiten, ergibt zusammen: 4 · 3 · 2 = 24 Möglichkeiten.

Nun wollen wir uns die Formel für die Möglichkeiten bei der Variation ermitteln:

Wie im Beispiel der Kugeln gezeigt, gibt es beim ersten Ziehen n Möglichkeiten (aus n Elementen), da noch kein Element verwendet wurden. Nach dem ersten Ziehen, bleiben noch (n-1) Elemente übrig, die für das zweite Ziehen verwendet werden können. Also haben wir beim zweiten Zug der Anordnung noch (n - 1), beim dritten Ziehen sind es noch (n - 2) Möglichkeiten und beim k-ten Zug sind es noch (n - k + 1) Möglichkeiten

Damit erhalten wir  (Anordnungen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Elemente) folgende Möglichkeiten der Anordnung der Elemente:

      Möglichkeiten = n · (n -1) · (n - 2) · (n - 3)  · .... · (n - k + 1)  = n! : (n - k)!




Variationen mit Wiederholung


Haben wir nun eine Variation mit Wiederholung vorliegen, darf jedes Element mehrfach vorkommen. Daher gibt es beim ersten Ziehen n Möglichkeiten (aus n Elementen), da noch kein Element verwendet wurden. Nach dem ersten Ziehen, bleiben aber wieder n Elemente übrig, da für das zweite Ziehen alle Elemente verwendet werden können (Variation mit Wiederholung). Also haben wir beim zweiten Zug der Anordnung noch n Möglichkeiten, beim dritten Ziehen sind es wieder n Möglichkeiten und beim k-ten Zug sind es noch n Möglichkeiten.

Daher erhalten wir für die Anzahl der Variationen mit Wiederholung folgende Formel:

Möglichkeiten = n · n  · n · n · .... · n  = nk    ("n hoch k")




Zusammenfassung der Kombinatorik

Die Kombinatorik befasst sich mit der Anzahl von Anordnung von einer bestimmten Anzahl an Elementen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Sind die Elemente unterscheidbar (und kommen diese nur einzeln vor) so spricht man von "ohne Wiederholung". Sind die Elemente hingegen nicht unterscheidbar, so spricht man von "mit Wiederholung", da jedes Element, dass bereits verwendet wurde, wieder verwendet werden kann.


  • Kombination (mit Wiederholung) - Auswahl von k aus n Elementen - keine Reihenfolgenbeachtung Kombination mit Wiederholung
  • Kombination (ohne Wiederholung) - Auswahl von k aus n Elementen - keine ReihenfolgenbeachtungKombination ohne Wiederholung
  • Variation (mit Wiederholung) - Auswahl von k aus n Elementen - Reihenfolgenbeachtung:                                   nk
  • Variation (ohne Wiederholung) - Auswahl von k aus n Elementen - Reihenfolgenbeachtung:            Variation ohne Wiederholung

  • Permuation (mit Wiederholung) - Auswahl von n aus n Elementen - Reihenfolgenbeachtung:               Permutation mit Wiederholung


  • Permutation (ohne Wiederholung) - Auswahl von n aus n Elementen - Reihendolgenbeachtung:                               n!