Multiplikation von Vektoren miteinander (keine Multiplikation mit einem Skalar)

“Vektoren” sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Auch bei Vektoren sind mathematische Operationen möglich, wie z.B. die Multiplikation von Vektoren miteinander.

Multiplikation von Vektoren

Die Multiplikation von Vektoren nennt man auch Vektorprodukt, äußeres Produkt oder Kreuzprodukt. Dieses mathematische Verfahren sollte nicht mit dem Verfahren “Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe”verwechselt werden. Ziel des Vektorproduktes ist es, zwei Vektoren multiplikativ zu einem neuen Vektor zu verknüpfen.

Was ist so interessant an dem Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt?

Wie bereits erwähnt, entsteht durch Multiplikation von Vektoren zum Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt ein neuer Vektor. Mit Hilfe dieses Vektors lassen sich viele wichtige Eigenschaften herleiten, die nicht nur in der analytischen Geometrie von Interesse sind. So liefert das Vektorprodukt

  • einen neuen Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.
  • einen Vektor, dessen Betrag ein Maß für die Fläche des aufgespannten Parallelogramms (bzw. kann damit auch die Dreiecksfläche berechnet werden, die die Vektoren aufspannen und die Hälfte der Fläche des Parallelogramms ist) ist.
Anwendung des Vektorproduktes

Anwendung des Vektorproduktes

Lösungsverfahren für die Multiplikation von Vektoren

Ähnlich wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren gibt es ein grafisches und ein mathematisches Lösungsverfahren. Das grafische Verfahren ist allerdings so komplex, dass hier nur das mathematische Löungsverfahren vorgestellt werden soll.Zu Beachten ist, dass nicht egal ist, in welcher Reihenfolge die Vektoren multipliziert werden. Werden die beiden Vektoren vertauscht, ändert sich das Vorzeichen bzw. der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung.

 

Lösungsverfahren für die Multiplikation von Vektoren

Lösungsverfahren für die Multiplikation von Vektoren

 

Berechnung der Länge (auch der Betrag) eines (aus der Multiplikation resultierenden) Vektors

Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und  hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null). Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors gleich der Länge des Vektors.

 

Berechnung der Länge eines Vektors

Berechnung der Länge eines Vektors

Hergeleitet werden kann die Formel mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Wie in der Skizze erkennbar ist, sind die  x-Komponente und y-Komponente des Vektors a die Katheten eines Dreiecks. Die Länge (der Betrag) des Vektors entspricht der Hypotenuse. Somit kann man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras (a² + b² = c²) die Länge der Hypotenuse berechnen. Im Dreidimensionalen kommt noch die z-Komponente dazu.


Multiplikation von Vektoren miteinander (keine Multiplikation mit einem Skalar) – Testfragen/-aufgaben

1. Definieren Sie die Multiplikation von Vektoren.

Die Multiplikation von Vektoren ist nicht wie die gewöhnliche Multiplikation. Es gibt hauptsächlich zwei Arten von Multiplikationen: das Skalar- und das Vektorprodukt. Im Skalarprodukt wird ein Skalar als Endergebnis produziert, während das Vektorprodukt ein Vektor als Endergebnis produziert.

2. Was ist das Skalarprodukt und wie wird es berechnet?

Das Skalarprodukt, auch bekannt als Punktprodukt, ist eine Art von Multiplikation, bei der zwei Vektoren so multipliziert werden, dass der Ausdruck ein Skalar ergibt. Es wird berechnet, indem man die entsprechenden Komponenten der Vektoren miteinander multipliziert und die Ergebnisse addiert.

3. Was ist das Vektorprodukt und wie wird es berechnet?

Das Vektorprodukt, auch bekannt als Kreuzprodukt, ist eine Art von Multiplikation, bei der zwei Vektoren so multipliziert werden, dass der Ausdruck einen Vektor ergibt. Es wird berechnet, indem man die Determinante einer 3×3-Matrix bestimmt, wobei die ersten beiden Zeilen die Komponenten der beiden Vektoren und die dritte Zeile die Einheitsvektoren enthält.

4. Was ist der Unterschied zwischen Skalar- und Vektorprodukt?

Der Hauptunterschied besteht darin, dass das Skalarprodukt ein Skalar ergibt, während das Vektorprodukt einen Vektor ergibt. Außerdem entspricht das Skalarprodukt der multiplizierten Länge der beiden Vektoren und dem Cosinus des Winkels zwischen ihnen, während das Vektorprodukt der multiplizierten Länge der Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen entspricht.

5. Wann ist das Skalarprodukt einer Vektor-Multiplikation Null?

Das Skalarprodukt einer Vektor-Multiplikation ist Null, wenn die beiden Vektoren orthogonal zueinander stehen, d.h. wenn sie einen Winkel von 90 Grad zueinander bilden.

6. Wann ist das Kreuzprodukt einer Vektor-Multiplikation Null?

Das Kreuzprodukt einer Vektor-Multiplikation ist Null, wenn die beiden Vektoren parallel zueinander sind, d.h. wenn sie in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen.

7. Was ist der physikalische Sinn des Skalarprodukts?

Das Skalarprodukt hat viele Anwendungen in der Physik. Es wird oft verwendet, um die Arbeit zu berechnen, die von einer Kraft entlang einer bestimmten Distanz geleistet wird oder um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

8. Was ist der physikalische Sinn des Vektorprodukts?

Das Vektorprodukt hat viele Anwendungen in der Physik. Es kann beispielsweise verwendet werden, um das Drehmoment zu berechnen, das eine Kraft an einem Drehpunkt erzeugt, oder um die Richtung der resultierenden Kraft in magnetischen oder elektrischen Feldern zu ermitteln.

9. Wie wird die Multiplikation von Vektoren in der linearen Algebra verwendet?

Die Multiplikation von Vektoren ist ein wichtiges Instrument in der linearen Algebra. Sie wird beispielsweise verwendet, um die Länge von Vektoren zu berechnen, Abstände zwischen Punkten zu bestimmen oder um zu testen, ob Vektoren orthogonal oder parallel sind.

10. Beschreiben Sie einen Anwendungsfall der Multiplikation von Vektoren in der Computergrafik.

In der Computergrafik wird die Vektor-Multiplikation oft verwendet, um Beleuchtung und Schattierung, Transformationen von Objekten oder die Berechnung von Oberflächennormalen zu ermöglichen. Ihr Einsatz trägt wesentlich zur Erzeugung realistischer Bilder bei.