1) Laut Definition ist eine Funktion integierbar, wenn die Funktion mindestens stückweise stetig ist, d.h. die Stetigkeit kann in endlich vielen Punkten zwischen
a und b nicht erfüllt sein

 

2) Neben der Voraussetzung der Stetigkeit für die Integierbarkeit ist eine weitere Voraussetzung für die Integrierbarkeit die Beschränktheit der Funktion f (x)
im Integrationsintervall [a, b], d.h. f (x) darf keine Polstelle besitzen (Definition höhere Mathematik).

 

3) Sehen wir uns ein Beispiel an, f(x) = | x | + 1. Ist diese Funktion integierbar?
Antwort: Ja, diese Funktion ist integierbar, da die Funktion an jeder Stelle stetig ist.

 

4) Sehen wir uns die Funktion f(x)  = | x | + 1  nochmals an. Diese Funktion ist im Punkt x =  1  nicht differenzierbar, trotzdem hat dies keinen Einfluss auf die Integrierbarkeit
a) Ja

 

5) Höhere Mathematik: Eine Funktion (wie f(x) in Aufgabe 4) ist an einer bestimmten Stelle nicht differenzierbar und trotzdem integierbar. Als Begründung hört man manchmal: "an den Unstetigkeitsstellen stellt man sich die Fläche durch eine vertikale Linie begrenzt vor, sodass der eingeschlossene Flächeninhalt endlich ist und damit integierbar ist". 

Diese Begründung ist natürlich vollkommener Unsinn.
a) Ja