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Mathematik Test – Grenzwert (allgemein)

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

1) Die Grenzwertberechnung ist in der Mathematik ein wichtiges Hilfsmittel, beispielsweise bei der Bestimmung der Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit einer Funktion. Zusammengefasst dient die Grenzwertberechnung dazu, das Verhalten einer Funktion (bzw. des Graphen) entweder im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) zu untersuchen.

2) Wie in Aufgabe 1 beschrieben, gibt es zwei Prüfungen für den Grenzwert. Entweder im Unendlichen oder an einer bestimmten Stellle. Zu jeder Prüfung gehören zwei Untersuchungen (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert). Beispielsweise, will man das Verhalten eines Graphen im Unendlichen untersuchen, prüft man, wie das Verhalten bei hohen positiven x-Werten (also gegen + unendlich) und bei hohen negativen x-Werten (also gegen - unendlich) ist. 



3) Dies funktioniert bei einer Grenzwertuntersuchung an einer bestimmten Stelle genauso wie im Unendlichen. So könnte beispielsweise die Stelle x = 1 von Interesse sein. Mit Hilfe des Grenzwertverfahen betrachtet man das Verhalten der Funktion bei 0,9999... und bei 1,000...1, d.h man nähert sich einmal von links und einmal von rechts an die zu untersuchende Stelle an (mathematisch sehr einfaches Niveau).


4) In den folgenden beiden Aufgaben wird die Funktion (x + 2) : (x² -4) untersucht. Untersuchen wir im ersten Fall das Verhalten der Funktion im Unendlichen. Hierbei werden Zähler und Nenner durch die höchste Potenz des Nenners geteilt.


Beispiel GrenzwertberechnungSo erhält man als Grenzwert für:

  • x gegen - unendlich: 1

  • x gegen + unendlich: 1

5) Nun soll die Funktion an einer bestimmten Stelle untersucht werden, nämlich an der Stelle x = 2 (Definitionslücke). Hierbei wird ein linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert berechnet.


Beispiel Grenzwertberechnungder rechtsseitige Grenzwert lässt sich berchnen durch x = 2 + h. Bei beiden Berechnungen erhält man als Grenzwert die Zahl 4.

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