Mathematik Test – Integierbarkeit (Funktion)

1) Laut Definition ist eine Funktion integierbar, wenn die Funktion mindestens stückweise stetig ist, d.h. die Stetigkeit kann in endlich vielen Punkten zwischen
a und b nicht erfüllt sein

2) Neben der Voraussetzung der Stetigkeit für die Integierbarkeit ist eine weitere Voraussetzung für die Integrierbarkeit die Beschränktheit der Funktion f (x)
im Integrationsintervall [a, b], d.h. f (x) darf keine Polstelle besitzen (Definition höhere Mathematik).

3) Sehen wir uns ein Beispiel an, f(x) = | x | + 1. Ist diese Funktion integierbar?
Antwort: Ja, diese Funktion ist integierbar, da die Funktion an jeder Stelle stetig ist.

4) Sehen wir uns die Funktion f(x)  = | x | + 1  nochmals an. Diese Funktion ist im Punkt x =  1  nicht differenzierbar, trotzdem hat dies keinen Einfluss auf die Integrierbarkeit

5) Höhere Mathematik: Eine Funktion (wie f(x) in Aufgabe 4) ist an einer bestimmten Stelle nicht differenzierbar und trotzdem integierbar. Als Begründung hört man manchmal: "an den Unstetigkeitsstellen stellt man sich die Fläche durch eine vertikale Linie begrenzt vor, sodass der eingeschlossene Flächeninhalt endlich ist und damit integierbar ist". 

Diese Begründung ist natürlich vollkommener Unsinn.