Mathematik Test – Regel von l`Hospital

1) Die Regeln von de l’Hospital werden bei der Grenzwertbestimmung verwendet. Die Regeln dienen dazu, um Grenzwerte von Quotienten zu bestimmen. Die Regeln werden verwendet, wenn Nenner und Zähler eines Bruches entweder beide gegen Null oder beide gegen Unendlich streben. Voraussetzung ist, dass die Ableitungen von Nenner und Zähler existieren.

2) Die erste Regel von l’Hospital wird umgangssprachlich auch als die 0 : 0 - Regel bezeichnet. Diese Regel gilt, wenn beide Funktionen differenzierbar sind und für die Funktionswerte gilt:  f(xo) = g(xo) = 0.

3)  Die zweite Regel von l’Hospital wird umgangssprachlich auch als die unendlich : unendlich - Regel bezeichnet. Diese Regel gilt, wenn beide Funktionen differenzierbar sind und für die Funktionswerte gilt:  f(xo) = g(xo) = unendlich

4) Bisher war es theoretisch. Nun eine Übungsaufgabe f(x) = sin x : x an der Stelle xo = 0. Setzt man den Wert x = 0 in f(x) ein, so erhält man 0 : 0 und kann die erste Regel von l’Hospital verwenden.

• Ableitung von sin x ist cos x, und cos 0 = 1


• Ableitung von x ist 1.

Somit erhält man 1 : 1 und erhält als Grenzwert für die Funktion f(x) an der Stelle xo=0 den Wert 0.

5) Nochmal eine Übungsaufgabe. Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x) : x². Untersucht werden soll der Grenzwert bei unendlich. Setzt man den Wert in die Funktion ein, erhält man als Ergebnis unendlich : unendlich und kann somit die Regel anwenden.

• Ableitung von ln(x) ist 1/x


• Ableitung von x² ist 2x

Somit ist der Grenzwert (bei unendlich) 1.