Rechnen mit dem umgekehrten Dreisatz

Das Fach Mathematik besteht hauptsächlich  von der Beziehung von Zahlen zu und untereinander und deren Bedeutung bzw. Interpretation. Viele dieser Beziehungen (auch als Formel bezeichnet) sind im alltäglichen Leben nicht von großer Bedeutung. Der Dreisatz hingegen ist eine der wenigen mathematischen Operationen, die wirklich auch außerhalb der Schule gebraucht werden kann.

“Dreisatz berechnen”

Grundsätzlich benötigt man den Dreisatz zur Berechnung von Stückkosten oder Zinsen, der Dreisatz ist in mathematischer Hinsicht keine Formel, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Zweck des Dreisatzes ist es,  aus drei gegebenen Werten den vierten berechnen. Dazu gibt es zwei Varianten des Dreisatzes:

• Es liegt eine direkte Proportionalität von Größen vor (einfacher Dreisatz, manchmal auch als gerader Dreisatz bezeichnet), d.h. je größer der Wert 1 wird, umso größer wird der Wert 2. Beispiel: Verdoppelt man Wert 1, so verdoppelt sich auch Wert 2 (deswegen wird dies auch als direkte Proportionalität bezeichnet).
• Es liegt eine indirekte Proportionalität von Größen vor (umgekehrter Dreisatz, manchmal auch als ungerader Dreisatz bezeichnet), d.h. je größer der Wert 1 wird, umso kleiner wird der Wert 2. Beispiel: Verdoppelt man den Wert 1, so halbiert sich Wert 2 (deswegen wird dies auch als indirekte Proportionalität bezeichnet)

Der umgekehrte Dreisatz

Beim umgekehrten Dreisatz ist das Produkt der beiden Größen 1 und 2 eine Konstante.

Im ersten Schritt stellt man eine Gleichung für beide Größen auf, anschließend berechnet man die Anti-Proportionalität beider Werte, dazu teilt man Größen 1 durch die Größe 1 und multipliziert die Größe 2 mit Größe 1. Anschließend multipliziert bzw. teilt man  mit der gesuchten Größe x.

• Schritt 1:   Gleichung ansetzen:                                                                                    Größe 1  =  Größe 2
• Schritt 2:   Größe 1 durch Größe 1 teilen und Größe 2 mit Größe 1 multiplizieren              1  =  (Größe 2 · Größe 1)
• Schritt 3:   rechte Seite mit x multiplizieren, rechts mit x dividieren                                      x  =  (Größe 2 · Größe 1):x

Beispiel:
10 Personen benötigen 21 Tage um eine bestimmte Arbeit zu erledigen. Wie viel Zeit benötigen dann 7 Personen?

Der erste Schritt ist der schwierigste, nämlich die Informationen bzw. Größen zu ordnen und die unbekannte Größe x herauszufinden.

• Im ersten Schritt bestimme ich die Größe 1 und 2. Gegeben ist eine Anzahl an Personen, gesucht eine Zeitdauer, also wird die Anzahl der Personen mit der Größe 1 und die Zeitdauer mit der Größe 2 gleichgesetzt.
• In Fall dieser Aufgabe ist die gesuchte Größe x die Zeit für 7 Personen, also gilt x = 7 Personen

Rechnung

• 1. Schritt: Gleichung ansetzen:                                                   10 Personen = 21 Tage
• 2. Schritt: durch 10 Personen teilen bzw. multiplizieren:                     1           = 21 Tage · 10 Personen
• 3. Schritt: mit 7 Personen mulitplizieren  bzw teilen:                      7 Personen  = (21 Tage · 10 Personen) : 7 Personen
• Ergbnis                                                                                       7 Personen = 30 Tage

Als Ergbnis lässt sich festhalten, dass 7 Personen für die Arbeit 30 Tage benötigen.

Unterscheidung normaler oder umgekehrter Dreisatz

Diese Frage stellt sich oft, ob man den normalen/einfachen Dreisatz bzw. den umgekehrten Dreisatz anwendet. Dazu gibt es keine mathematische Lösung, hier hilft nur der gesunde Menschenverstand.
Um dies zu entscheiden, man die Aufgabenstellung analysiert werden und entschieden werden, ob Proportionalität (je mehr von Größe 1, umso mehr von Größe 2) oder Antiproportionalität (je mehr von Größe 1, desto weniger von Größe 2) vorliegt.
z.B.

• Je mehr CD´s ich kaufe, desto mehr muss ich bezahlen (proportional)
• Je weniger Leute an einer bestimmten Menge an Aufgaben arbeiten, desto mehr Zeit wird benötigt, die Aufgaben zu lösen (antiproportional)