Rechnen mit dem Dreisatz

Das Fach Mathematik besteht hauptsächlich von der Beziehung von Zahlen zu und untereinander und deren Bedeutung bzw. Interpretation. Viele dieser Beziehungen (auch als Formel bezeichnet) sind im alltäglichen Leben nicht von großer Bedeutung. Der Dreisatz hingegen ist eine der wenigen mathematischen Operationen, die wirklich auch außerhalb der Schule gebraucht werden kann.

“Dreisatz”

Grundsätzlich benötigt man den Dreisatz zur Berechnung von Stückkosten oder Zinsen, der Dreisatz ist in mathematischer Hinsicht keine Formel, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Zweck des Dreisatzes ist es,  aus drei gegebenen Werten den vierten berechnen. Dazu gibt es zwei Varianten des Dreisatzes:

• Es liegt eine direkte Proportionalität von Größen vor (einfacher Dreisatz, manchmal auch als gerader Dreisatz bezeichnet), d.h. je größer der Wert 1 wird, umso größer wird der Wert 2. Beispiel: Verdoppelt man Wert 1, so verdoppelt sich auch Wert 2 (deswegen wird dies auch als direkte Proportionalität bezeichnet).
• Es liegt eine indirekte Proportionalität von Größen vor (umgekehrter Dreisatz, manchmal auch als ungerader Dreisatz bezeichnet), d.h. je größer der Wert 1 wird, umso kleiner wird der Wert 2. Beispiel: Verdoppelt man den Wert 1, so halbiert sich Wert 2 (deswegen wird dies auch als indirekte Proportionalität bezeichnet)

Der einfache Dreisatz

Beim einfachen Dreisatz ist der Quotient der beiden Größen 1 und 2 gleich, d.h wenn man also Größe 1 durch Größe 2 teilt, erhält man den gleichen Wert.
Im ersten Schritt stellt man eine Gleichung für beide Größen auf, anschließend berechnet man die Proportionalität beider Werte, dazu teilt man beide Größen 1 bzw. 2 durch die Größe 1. Nun hat man den Wert einer Einheit von Größe 1. Anschließend multipliziert man  mit der gesuchten Größe x.

• Schritt 1:   Gleichung ansetzen:                Größe 1  =  Größe 2
• Schritt 2:   durch Größe 1 teilen              1  =  (Größe 2  Größe 1)
• Schritt 3:   mit “x” multiplizieren                x  =  (Größe 2 : Größe 1)·x

Beispiel:
5 CD´s kosten 7,50 €. Wie viel kosten 7 CD´s.

Der erste Schritt ist der schwierigste, nämlich die Informationen bzw. Größen zu ordnen und die unbekannte Größe x herauszufinden.

• Im ersten Schritt bestimme ich die Größe 1 und 2. Gesucht ist ein Preis, die Anzahl kenne ich, also bezeichne ich die Anzahl der CD´s als Größe 1 und den Preis als Größe 2.
• In diesem Fall ist die gesuchte Größe x der Preis für 7 CD´s, also muss ich mit “7” multiplizieren.

Rechnung

• 1. Schritt: Gleichung ansetzen:              5 Stk = 7,50 €
• 2. Schritt: durch 5 Stk. teilen:               1 = 7,50 € : 5 Stk
• 3. Schritt: mit 7 Stk mulitplizieren:         7 Stk = (7,50 € : 5 Stk)·7 Stk
• Ergbnis                                                7 Stk = 10,50 €

Als Ergbnis lässt sich festhalten, dass 7 CD´s 10,50 € kosten.

Rechnen mit dem Dreisatz – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter dem Dreisatz?

Unter dem Dreisatz versteht man ein einfaches mathematisches Verfahren, das dazu dient, aus drei gegebenen Werten einen vierten zu berechnen, der sich im gleichen Verhältnis zu einem der drei anderen Werte verhält.

2. Was sind die beiden Varianten des Dreisatzes?

Die beiden Varianten des Dreisatzes sind der proportionale (direkte) und der antiproportionale (indirekte) Dreisatz.

3. Wie unterscheiden sich der proportionale und der antiproportionale Dreisatz?

Beim proportionalen Dreisatz besteht ein direktes Verhältnis zwischen den Werten: Wenn ein Wert steigt, steigt auch der andere. Beim antiproportionalen Dreisatz besteht ein umgekehrtes Verhältnis: Wenn ein Wert steigt, sinkt der andere.

4. Wie berechnet man den vierten Wert beim proportionalen Dreisatz?

Beim proportionalen Dreisatz multipliziert man den gegebenen dritten Wert mit dem gesuchten vierten Wert und teilt das Ergebnis durch den gegebenen zweiten Wert.

5. Wie berechnet man den vierten Wert beim antiproportionalen Dreisatz?

Beim antiproportionalen Dreisatz multipliziert man den gegebenen zweiten Wert mit dem gegebenen dritten Wert und teilt das Ergebnis durch den gesuchten vierten Wert.

6. Geben Sie ein Beispiel für eine Rechenaufgabe, in der der proportionale Dreisatz angewendet wird.

Eine Aufgabe könnte sein: “In einem Klassenzimmer sind 20 Schüler und 5 Lehrer. Wie viele Lehrer wären in einem Klassenzimmer mit 40 Schülern, wenn die Verhältnisse gleich bleiben?” Hier wäre die Berechnung über den proportionalen Dreisatz.

7. Geben Sie ein Beispiel für eine Rechenaufgabe, in der der antiproportionale Dreisatz angewendet wird.

Eine Aufgabe könnte sein: “Ein Auto fährt 80 Kilometer in einer Stunde. Wie lange braucht das Auto für 160 Kilometer, wenn die Geschwindigkeit gleich bleibt?” Hier wäre die Berechnung über den antiproportionalen Dreisatz.

8. Was sollte man beachten, wenn man den Dreisatz anwendet?

Man sollte immer prüfen, ob es sich um einen proportionalen oder einen antiproportionalen Dreisatz handelt, und die Rechnung entsprechend durchführen.

9. Wozu wird der Dreisatz in der Praxis angewendet?

Der Dreisatz wird in vielen Bereichen wie etwa der Wirtschaft, in Technik und Naturwissenschaften und im Alltag angewendet, um Verhältnisse zu berechnen.

10. Warum ist es wichtig, den Dreisatz zu beherrschen?

Der Dreisatz ist eine grundlegende Mathematik-Fertigkeit, die in vielen Bereichen des Lebens und in verschiedenen Berufsfeldern benötigt wird. Er hilft dabei, komplexe Probleme zu vereinfachen und Lösungen für reale Probleme zu finden.