Die Prozentrechnung ist nicht nur eine wichtige Rechenoperation in der Mathematik, sondern auch eine wichtige mathematische Größe im Alltag. Potenzen dienen dazu, ein Produkt von gleichen Zahlen vereinfacht darzustellen (z. B. 5 ·5 ·5 = 5³). Im Alltag und in den Naturwissenschaften hat man meist nicht nur eine Potenz vorliegen, sondern beispielsweise vergleicht mehrere Potenzen. So können Potenzen addiert, subtrahiert und nochmals potenziert werden. Diese Rechenvorschriften der Potenzrechnung werden nun in diesem Kapitel dargestellt.
Ein Term der Form “an” wird als Potenz bezeichnet und bedeutet, dass die sogenannte Basis “a” n-mal (“n” wird als Exponent bezeichnet) mit sich selbst multipliziert wird.Die Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für eine n-fache Multiplikation (für a · a · a….·a, n-mal hintereinander)
Potenz an = a · a · a · a · a ……
Die math. Form “an” wird gesprochen als “a hoch x”. “a” ist dabei die Basis (auch als Grundwert bezeichnet) und “n” der Exponent (auch als Hochzahl bezeichnet). Je nach der Zugehörigkeit des Exponenten (“natürliche Zahl”, “ganze Zahl” und “rationale Zahl”) gibt es unterschiedliche “Rechenvorschriften” in der Potenzrechnung. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nur mit Potenzen, die eine “natürliche Zahl” als Exponenten aufweisen. Bevor wir nun die Rechenvorschriften für die Potenzrechnung betrachten, müssen wir noch zwei “Fälle” definieren: Exponent 0 und 1.
Im Folgenden werden die Rechenregeln dargestellt:
Addition und Subtraktion von Potenzen:
Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen können nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden
Multiplikation und Division von Potenzen:
Bei diesen Rechenoperationen müssen zwei Fälle unterschieden werden, einmal die Multiplikation/Division von Potenzen mit gleicher Basis und einer Potenz mit gleichem Exponenten:
1. Multiplikation/Division von Potenzen mit gleicher Basis
2. Multiplikation/Division von Potenzen mit gleichem Exponenten
Potenzieren von Potenzen:
Beispiele zu den Potenzregeln:
Das Symbol “^” in der Potenzrechnung stellt die Operation der Potenzierung dar. Wenn wir zum Beispiel 3^2 schreiben, bedeutet das 3 hoch 2, also 3 * 3.
In der Potenz 4^5 ist 4 die Basis und 5 der Exponent. Hierbei bedeutet es, dass die Basis 4, fünf Mal mit sich selbst multipliziert wird.
Das Ergebnis von 2^3 ist 8. Denn es bedeutet, dass die Zahl 2 dreimal mit sich selbst multipliziert wird (2*2*2).
Wenn a^b = a^c, dann bedeutet das, dass die Werte von b und c gleich sind.
Das Potenzgesetz a^m * a^n lautet: a^(m+n). Man addiert also die Exponenten, wenn die Basen gleich sind und multipliziert werden.
Das Ergebnis von 10^0 ist 1. Jede Potenz mit Ausnahme von 0 mit dem Exponenten 0 ist immer 1.
Das Ergebnis von a^-n ist gleich 1/a^n. Es handelt sich hierbei um den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.
Gemäß der Potenzrechenregel addieren wir die Exponenten: 4 + (-2). Somit ist 2^4 * 2^-2 gleich 2^2, was 4 entspricht.
Das Potenzgesetz (a^m)^n lautet: a^(m*n). Man multipliziert also die Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird.
Eine Quadratzahl ist das Ergebnis, wenn eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Ein Beispiel dafür ist 4, da 2*2 = 4.