Die Potenzrechnung (für natürliche Zahlen)

Die Prozentrechnung ist nicht nur eine wichtige Rechenoperation in der Mathematik, sondern auch eine wichtige mathematische Größe im Alltag. Potenzen dienen dazu, ein Produkt von gleichen Zahlen vereinfacht darzustellen (z. B. 5 ·5 ·5 = 5³). Im Alltag und in den Naturwissenschaften hat man meist nicht nur eine Potenz vorliegen, sondern beispielsweise vergleicht mehrere Potenzen. So können Potenzen addiert, subtrahiert und nochmals potenziert werden. Diese Rechenvorschriften der Potenzrechnung werden nun in diesem Kapitel dargestellt.

Potenzrechnung – eine grundlegende mathematische Rechenoperation

Ein Term der Form “aⁿ” wird als Potenz bezeichnet und bedeutet, dass die sogenannte Basis “a” n-mal (“n” wird als Exponent bezeichnet) mit sich selbst multipliziert wird.Die Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für eine n-fache Multiplikation (für a · a · a….·a, n-mal hintereinander)

Potenz aⁿ = a · a · a · a · a ……

Die math. Form “aⁿ” wird gesprochen als “a hoch x”. “a” ist dabei die Basis (auch als Grundwert bezeichnet) und “n” der Exponent (auch als Hochzahl bezeichnet). Je nach der Zugehörigkeit des Exponenten (“natürliche Zahl”, “ganze Zahl” und “rationale Zahl”) gibt es unterschiedliche “Rechenvorschriften” in der Potenzrechnung. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nur mit Potenzen, die eine “natürliche Zahl” als Exponenten aufweisen. Bevor wir nun die Rechenvorschriften für die Potenzrechnung betrachten, müssen wir noch zwei “Fälle” definieren: Exponent 0 und 1.

• Exponent 0:  Jede Basis hoch Null ist Eins (a⁰ = 1)
• Exponent 1:  Jede Basis hoch Eins ist die Basis selbst (a¹ = a)

Rechenregeln der Potenzrechnung

Im Folgenden werden die Rechenregeln dargestellt:

Addition und Subtraktion von Potenzen:

• x·aⁿ + y·aⁿ = (x + y) · aⁿ      bzw.    x·aⁿ – y·aⁿ = (x – y) · aⁿ   

Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen können nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden

Multiplikation und Division von Potenzen: 

Bei diesen Rechenoperationen müssen zwei Fälle unterschieden werden, einmal die Multiplikation/Division von Potenzen mit gleicher Basis und einer Potenz mit gleichem Exponenten:

1. Multiplikation/Division von Potenzen mit gleicher Basis

• aⁿ · a^m =  a^{(n + m)}  (1. Potenzgesetz)
• aⁿ : a^m  =  a^{(n – m)}   (2. Potenzgesetz)

2. Multiplikation/Division von Potenzen mit gleichem Exponenten

• aⁿ · bⁿ =  (a · b)ⁿ   (3. Potenzgesetz)
• aⁿ : bⁿ =  (a : b)ⁿ    (4. Potenzgesetz)

Potenzieren von Potenzen:

• (aⁿ )^m =  a^(n·m)        (5. Potenzgesetz)

Beispiele zu den Potenzregeln:

• 2² · 3²  : Wir haben eine Multiplikation zweier Potenzen mit gleichem Exponenten: 2² · 3²  = (2 · 3)² = 6² = 36  (Testen wir das nun: 2² · 3² = 4 · 9 = 36)

• 2³ : 2²  : Wir haben eine Division zweier Potenzen mit gleicher Basis: 2³ : 2²  =  2^(3-2)  = 2¹ = 2