Primfaktorzerlegung in der Mathematik

Jede natürliche Zahl ist eine Primzahl oder kann als ein Produkt aus Primzahlen formuliert werden. Die “Zerlegung” einer Zahl in ein Produkt aus einer Abfolge von Primzahlen wird als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Gemäß der mathematischen Definition ist die Primfaktorzerlegung die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt von Primzahlen. Die Primzahlen, die bei der Primfaktorzerlegung ermittelt werden, werden als Primfaktoren bezeichnet.

Primfaktorzerlegung

Wie eingangs erwähnt, wird bei der Primfaktorzerlegung eine natürliche Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegt. Diese Primzahlen bzw. Primfaktoren sind eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Wie im Kapitel “Primzahlen” dargestellt, kann jede natürliche Zahl (n ≥ 2) in ein Produkt von Primzahlen zerlegen werden. Bei der Primfaktorzerlegung gibt es keine “festen” Rechenvorschriften, die Primfaktorzerlegung beruht im Wesentlich auf der Teilbarkeit von Zahlen

Bei der Primfaktorzerlegung wird mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln untersucht, ob eine Zahl durch eine Primzahl teilbar ist. Auch, wenn es inzwischen eine Vielzahl an Möglichkeiten gibt, beginnt man in der Regel mit der kleinsten Primzahl (also der Zahl 2). Damit spart man sich den ersten Schritt (Primzahl suchen, durch die die Zahl teilbar ist). Kann die Zahl durch die Primzahl (in unserem Fall 2) geteilt werden, haben wir die erste Zerlegung erreicht. Die Zahl wird durch die Primzahl / Primfaktor geteilt. Das Ergebnis der so erhalten Zahl wird wieder auf die Teilbarkeit durch eine Primzahl geprüft.

Nachfolgend zwei Beispiele:

Beispiel 1: Primfaktorzerlegung der Zahl 18

• Im ersten Schritt nehmen wir die Primzahl 2. Die Zahl 18 endet auf eine gerade Zahl, daher ist die Zahl durch 2 teilbar.
• Im zweiten Schritt teilen wir die Zahl 18 durch die Primzahl 2. Wir erhalten 18 : 2 = 9. Wir haben also die erste Zerlegung der Zahl 18 in 2 · 9
• Im dritten Schritt prüfen wir, ob der Faktor “9” noch teilbar ist. D. h. wir prüfen, ob die Zahl 9 eine Primzahl ist. Durch 2 ist 9 nicht teilbar (=> ungerade), durch 3 ist9 teilbar (=> Quersumme durch 3 teilbar).
• Im vierten Schritt teilen wir die Zahl 9 durch die Primzahl 3. Wir erhalten 9 : 3 = 3. Wir haben also die zweite Zerlegung der Zahl 18 in 2· 3· 3

Nun prüfen wir, ob die Ergebnis eine Primzahl ist. Die Zahl 3 ist eine Primzahl. Daher sind wir fertig mit der Primfaktorzerlegung der Zahl 18 und erhalten

18 = 2 · 3· 3

Beispiel 2: Primfaktorzerlegung der Zahl 25

• Im ersten Schritt prüfen wir die Teilbarkeit auf 2. Da die Zahl 25 ungerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar.
• Im zweiten Schritt prüfen wir die Teilbarkeit auf 3. Da die Quersumme 7 nicht durch 3 teilbar ist, ist die Zahl 25 nicht durch 3 teilbar
• Im dritten Schritt prüfen wir die Teilbarkeit auf 4. Die Zahl ist auch nicht durch 4 teilbar
• Im vierten Schritt prüfen wir die Teilbarkeit auf 5. Da die Zahl auf 5 endet, ist 25 durch 5 teilbar
• Im fünften Schritt wird die Zahl 25 durch die ermittelte Primzahl 5 geteilt: 25 : 5 = 5. Wir haben also die erste Primfaktorzerlegung: 25 = 5· 5

Nun prüfen wir, ob die Ergebnis eine Primzahl ist. Die Zahl 5 ist eine Primzahl. Daher sind wir fertig mit der Primfaktorzerlegung der Zahl 25 und erhalten

25 = 5 · 5

In den zwei Beispielen haben wir gesehen, dass es kein allgemeines Schema für die Primfaktorzerlegung gibt. Im Wesentlichen beschränkt sich die Primfaktorzerlegung auf die Prüfung der Teilbarkeit einer Zahl und aus diesen “Teilbarkeiten” wird ein Produkt aus den einzelnen “Teilbarkeiten” errechnet.

Anwendung der Primfaktorzerlegung

• Beim Kürzen von Brüchen
• Beim Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV)
• Beim Ermitteln der größten gemeinsamen Teilers (ggT)

Primfaktorzerlegung in der Mathematik – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter der Primfaktorzerlegung?

Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer Zahl als ein Produkt von Primzahlen. Jede natürliche Zahl größer als 1 kann auf genau eine Weise (bis auf die Reihenfolge) in Primzahlen zerlegt werden.

2. Wie führst du die Zerlegung von 18 nach Primfaktoren durch?

Die Primfaktorzerlegung von 18 erfolgt durch fortlaufendes Teilen durch Primzahlen. 18 kann durch 2 und danach durch 9 (wiederum aufgeteilt in 3 x 3) geteilt werden. Daher ist die Primfaktorzerlegung von 18: 2 x 3 x 3.

3. Warum ist die Primfaktorzerlegung eine eindeutige Zerlegung?

Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist garantiert durch den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie. Jede natürliche Zahl größer als 1 kann auf genau eine Art und Weise (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.

4. Geben Sie die Primfaktorzerlegung von 72 an.

72 kann zerlegt werden in die Primzahlen 2, 2, 2, 3, 3. Daher ist die Primfaktorzerlegung von 72: 2 x 2 x 2 x 3 x 3.

5. Welche Zahl ergibt sich als Primfaktorzerlegung von 105?

Die Primfaktorzerlegung von 105 ist 3 x 5 x 7, da man 105 durch diese Primzahlen teilen kann ohne einen Rest zu bekommen.

6. Was ist ein Primfaktorbaum und wie wird er erstellt?

Ein Primfaktorbaum ist ein Diagramm, das verwendet wird, um die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu bestimmen. Man beginnt mit der Zahl an der Spitze und teilt sie dann durch die kleinsten möglichen Primzahlen, bis man am Ende nur noch Primzahlen hat.

7. Ist die Primfaktorzerlegung von 1000 – 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5?

Ja, die Primfaktorzerlegung von 1000 ist genau 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5.

8. Warum sind Primzahlen in der Mathematik so wichtig?

Primzahlen sind das Fundament der Zahlen in der Mathematik und sie sind wichtig für viele Bereiche, einschließlich der Kryptografie. Durch Primfaktorzerlegung können wir die “Bausteine” jeder Zahl kennenlernen.

9. Sind 1 und 0 Primzahlen?

Nein, 0 und 1 sind keine Primzahlen. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler hat außer 1 und sich selbst.

10. Was ist die größte Primzahl, die Sie kennen?

Größte bekannte Primzahl ist eine Mersenne-Primzahl und hat über 23 Millionen Ziffern. Es ist die Zahl 2^82,589,933 − 1, entdeckt im Jahr 2018.