Die Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist nicht nur eine wichtige Rechenoperation in der Mathematik, sondern auch eine wichtige mathematische Größe im Alltag. So werden beispielsweise Zinsen oder Rabatte in Form von Prozenten angegeben. Aber auch in allen naturwissenschaftlichen Fächern spielt die Prozentrechnung eine wesentliche Rolle, man denke nur an den Begriff “Volumenprozent” in der Chemie.

Wie wir nachfolgend sehen werden, ist die Prozentrechnung relativ einfach, das Schwierige ist meist zu erkennen, was der Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert ist. Im Grunde ist ein Prozent der hundertste Teil von einer Gesamtmenge (oder auch ein Hundertstel).

Prozentrechnung – eine grundlegende mathematische Rechenoperation

Wie eingangs erwähnt, ist die Prozentrechnung eine wesentliche Rechenoperation in allen naturwissenschaftlichen Fächern. Für die grundlegenden Rechenoperationen der Prozentrechnung gibt es einfache “Merkhilfen”.

Allgemein ist die Prozentrechnung nichts anders, als das Verhältnis zweier “Mengen bzw. Größen” zueinander zu betrachten. Die Prozentrechnung betrachtet immer eine Teilmenge aus einer Gesamtmenge (z.B. 5 Moleküle Wasser in einem Glas voller Wasser) und ist zudem “normiert”. Die Prozentrechnung betrachtet bzw. vergleicht zwei Größen immer in “Hundersteln” (wären es beispielsweise Tausendstel wären wir im Bereich der Promillerechnung). Die Teilmenge ist bei der Prozentrechnung immer x-mal ein Hundertstel der Gesamtmenge.

Damit wir einfach mit den Rechenoperationen der Prozentrechnung umgehen können, müssen wir die Begriffe Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert kennen und diese Größen bestimmen können. Denn je nach “Aufgabe” ist in der Prozentrechnung der Prozentsatz, Prozentwert oder der Grundwert gesucht:

• Grundwert: Der Grundwert ist die Gesamtmenge, die bei einer Prozentrechnung bezieht und ist normiert auf den Wert 100% (der Grundwert kann wie oben erwähnt alle Wassermoleküle in einem Glas sein).  In der Regel wird der Grundwert mit einem G abgekürzt.
• Prozentwert: Der Prozentwert ist die betrachtete Teilmenge innerhalb der Gesamtmenge, der Prozentwert entspricht also dem Anteil  an dem Grundwert. Um den Prozentwert nicht mit dem Prozentsatz zu verwechseln, bezeichnet man den Prozentwert auch manchmal als absolute Häufigkeit (beispielsweise 5 Wassermoleküle in einem Wasserglas). In der Regel wird der Prozentwert mit einem P abgekürzt.
• Prozentsatz: Der Prozentsatz ist die Größe, die am meisten verwendet wird. Der Prozentsatz setzt die Teilmenge und die Gesamtmenge ins Verhältnis (und zwar in Hundertstel). In der Regel wird der Prozentsatz mit einem p abgekürzt. Hierbei gilt : 0,01 entspricht 01%

Prozentsatz (in %)  = (Prozentwert : Grundwert) · 100 %

• Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert
• Grundwert = Prozentwert : Prozentsatz

Allerdings wird der Prozentsatz nicht in Hundertstel angegeben (z.B. 0,01), sondern in der Größe “Prozent”. Daher muss der Prozentsatz angepasst werden, ein Hundertstel entspricht 1%.

Herleitung der Formel

Diese Formeln können mithilfe einer Merkhilfe jederzeit selbst hergeleitet werden

Herleitung der Formel

Dazu verwenden wir das sogenannte magische Dreieck der Prozentrechnung. Der gesuchte Wert wird im Dreieck verdeckt, so dass die anderen beiden Werte (inkl. der zugehörigen Rechenoperation Multiplikation oder Division) den gesuchten Wert ergeben. Dabei gibt die verdeckte Größe immer die “Leserichtung” vor (von links nach rechts bzw. von rechts nach links).

Beispiel:

Gesucht ist die Formel für den Prozentwert P, dazu verdecken wir das Symbol P im Dreieck, übrig bleibt Prozentsatz p · Grundwert G. Die Formel für den Prozentwert P lautet also: P = p · G (so einfach kann Prozentrechnung sein). Wollen wir nun die Formel für den Grundwert G bestimmen, verdecken wir diesen Wert im Dreieck der Prozentrechnung. Da sich der Wert rechts befindet, müssen wir also von rechts nach links lesen: Die Formel für den Grundwert G lautet: daher G = P : p

Aufgabe:

Wir haben in einem Becherglas 400 Wassermoleküle und betrachten 8 Wassermoleküle und wollen das “Verhältnis” beider Größen wissen. Gegeben ist also eine Gesamtmenge (400 Wassermoleküle, entspricht dem Grundwert) und eine Teilmenge (8 Wassermoleküle, entspricht dem Prozentwert, der Mengenanteil an der Gesamtmenge). Gesucht ist daher der Prozentsatz, also das Verhältnis zwischen Teilmenge und  Gesamtmenge:

p = P : G = 8 : 400 = 0,02 =>  p = 2%