Die Zinseszinsformel ist eine der wichtigen Formeln in der Finanzmathematik und beantwortet die Frage, auf welches Endkapital ein anfängliches Kapital nach einem gewissen Zeitraum angewachsen ist, wenn das Kapital in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz verzinst wird. Fest verbunden mit der Zinseszinsrechnung sind die Begriffe “Aufzinsen” und “Abzinsen”.
Man kann die Zinseszinsformel relativ einfach herleiten. Verdeutlichen kann man sich dies an einem Beispiel: man leiht jemandem eine Summe K und
vereinbart, dass sie die Summe nach einem Jahr zurückbezahlt wird. Zusätzlich wird eine Leihgebühr i (=Zinsen) vereinbart. Diese Leihgebühr wird in der Regel in % des verliehenen Betrages und pro Jahr angegeben.
Die Formel für das Kapital K1, dass man nach einem Jahr zurückbekommt wäre: K1 = K + K· i = K·(i + 1)
Nun könnte man vereinbaren, dass die Summe erst nach zwei Jahren zurückgezahlt wird. Hierbei darf natürlich nicht vergessen werden , dass nach dem ersten Jahr die “Leihgebühr” auf die Summe K1 gezahlt werden muss (Zinseszins).
Die Formel für das Kapital
K2 = K1 + K1·i = K1· (1 + i) = K· (1 + i)· (1+ i) = K· (1 + i)²
Kn = K (1+ i)n
Diese Formel wird auch die Zinseszinsformel bezeichnet und ist die Grundlage der einfachen Zinsrechnung.
Nun werden die Begriffe Aufzinsen und Abzinsen dargestellt:
Hierbei ist von Interesse, was aus einer Anfangssumme und einer Anlage nach n-Perioden bei einem festen Zins i geworden ist. Hierbei kann Kn nach der obig abgebildeten Formel für die Zinseszinsberechnung verwenden.
Hierbei ist von Interesse zu berechnen, was eine Summe, die man in n-Perioden bekäme, heute wert ist. Das “Abzinsen” verwendet man daher, wenn man wissen will, welche Summe K man heute benötigt, um in n-Perioden (bei einem festen Zinssatz i) auf eine bestimmte Endsumme zu kommen. Zur Berechnung muss man die Zinseszinsformel ein wenig umstellen.
K = Kn : (1 + i)n
Umstellen der Zineszinsformel
Je nach gesuchter Größe lässt sich die Zinseszinsformel relativ leicht umstellen:
Die Zinseszinsformel ist eine Formel, mit der sich der zukünftige Wert einer Geldanlage oder Schulden berechnen lässt, die mit einem festen jährlichen Zinssatz verzinst wird. Sie lautet: A = P × (1+r)^n, wobei A der zukünftige Wert, P der ursprüngliche Betrag, r die jährliche Zinsrate und n die Anzahl der Jahre sind.
Das Aufzinsen bezieht sich auf den Prozess des Hinzufügens von Zinsen zu einem ursprünglichen Betrag über einen Zeitraum. Es berücksichtigt dabei sowohl den ursprünglichen Betrag als auch die bisher angesammelten Zinsen.
Abzinsen ist der Prozess der Ermittlung des gegenwärtigen Werts eines Betrags, der zu einem zukünftigen Zeitpunkt zur Verfügung stehen wird. Es ist das Gegenteil von Aufzinsen. In der Zinseszinsformel dient das Abzinsen dazu, den heutigen Wert eines zukünftigen Geldbetrags zu ermitteln.
Der Hauptunterschied besteht darin, dass einfache Zinsen nur auf den ursprünglichen Betrag (Hauptbetrag) berechnet werden, während Zinseszinsen sowohl auf den Hauptbetrag als auch auf die bereits angesammelten Zinsen berechnet werden.
Mit der Zinseszinsformel berechnet man den zukünftigen Wert einer Anlage, indem man den ursprünglichen Betrag (P), die jährliche Zinsrate (r) und die Anzahl der Jahre (n) in die Formel einsetzt, also A = P × (1+r)^n.
Beim Abzinsen wird die Zinseszinsformel umgekehrt angewendet, um den gegenwärtigen Wert zu berechnen. Die Formel lautet P = A / (1 + r)^n.
Der Zinssatz spielt eine entscheidende Rolle in der Zinseszinsformel, da er bestimmt, wie viel Zinsen über einen bestimmten Zeitraum anfallen.
In der Finanzmathematik wird die Zinseszinsformel verwendet, um den zukünftigen Wert von Anlagen, den gegenwärtigen Wert von zukünftigen Zahlungsströmen und verschiedene Arten von Darlehen zu berechnen.
Bei jährlicher Verzinsung wird der Zins nur einmal pro Jahr angewendet, während bei vierteljährlicher Verzinsung der Zins viermal pro Jahr angewendet wird. Dies führt zu höheren Endergebnissen aufgrund des Zinseszinseffekts.
Je häufiger die Zinsen berechnet werden (z.B. monatlich oder vierteljährlich statt jährlich), desto höher ist die Endsumme aufgrund des Zinseszinseffekts.