(Mechanische) Wellen – Lösung der Wellengleichung

Wellen treten dann immer auf, wenn sich eine physikalische Größe zeitlich und räumlich periodisch ändert. Dies ist auch bereits der wesentliche Unterschied zwischen einer Welle und einer Schwingung. Schwingungen sind periodisch bezüglich der Zeit, während Wellen periodisch bezüglich Raum und Zeit sind. Beispiele für mechanische Wellen sind Wasserwellen und Schallwellen

Für die Herleitung der Wellengleichung wird also die Formel für die Auslenkung eines (einzelnen) harmonischen Oszillator verwendet. Die räumliche, periodische Bewegung im Raum wird durch eine Sinuskurve beschrieben.

Herleitung der Wellengleichung für mechanische Wellen (Sek 1 – Niveau)

Zur Erinnerung: Wichtige Größen zur Beschreibung einer mechanischen Welle sind die Amplitude, die Frequenz und die Wellenlänge:

• Die Amplitude einer Welle entspricht dabei der Höhe eines Wellenberges bzw. der Tiefe eines Wellentals. Man sagt auch, die Amplitude ist die maximale Auslenkung der Schwingungen einer Welle (Hinweis bereits hier: Alle mechanischen Schwingungen haben eine Amplitude, bei elektromagnetischen Wellen ist eine direkte Bestimmung der Amplitude nicht möglich).
• Die Frequenz einer Welle ist dabei die Frequenz, mit der ein einzelner Oszillator, der die Welle “verursacht”, schwingt.
• Die Wellenlänge einer Welle ist der Abstand zweier benachbarter Wellenberge (oder zweier Wellentäler).

Wie eingangs erwähnt, ist die Grundlage / Entstehung einer Welle ein schwingender Oszillator. Damit diese Schwingung zur einer Welle führt, muss diese Schwingung harmonisch (also gleichmäßig) und periodisch sein.

Im Allgemeinen wird eine periodische zeitabhängige Bewegung durch eine Winkelfunktion (Sinus oder Cosinus-Funktion) beschrieben. Betrachten wir uns nun eine Welle, so sieht diese wie eine Sinus-Funktion aus:

Für die Bewegung können wir also schreiben: y = y(max)·sin (x). Eine Wellenbewegung können wir auch als kreisförmige Bewegung sehen.

Die Strecke s bzw. x, die ein Körper in der Zeit t auf der Kreisbahn zurücklegt, ist definiert als das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Zeit t (x = w · t)

Somit erhalten wir für die zeitabhängige Auslenkung eines harmonischen Oszillators

folgende Gleichung: y(t) = y(max)·sin (w · t)

Nun denken wir an die Einführung zurück, wie sich eine Welle ausbreitet. Ein Oszillator, der in einer Entfernung x vom schwingenden Oszillator (= Erreger) entfernt ist, wird erst nach einer gewissen Zeit zum Schwingen angeregt (das kennt man auch von Wasserwellen, man kann zusehen, wie sie sich ausbreiten).

Die Gleichung für diesen Oszillator lautet damit:  y(t) = y(max)·sin (w · [t – t(x)])

Gemäß den Newtonschen Axiomen gilt: Zeit = Strecke : Geschwindigkeit bzw. in unserem Fall Zeit t = Strecke x : Ausbreitunngsgeschwindigkeit c =>  t = x : c. Weiterhin wissen wird, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Welle folgendermaßen definiert ist:

 

Setzen wir dies nun in die Wellengleichung ein, erhalten wir:

Meistens wird in der Gleichung die Winkelgeschwindigkeit w durch andere Größen wie die Umlaufdauer T ersetzt. Damit erhalten wir nun für die Auslenkung einer Welle an einem Ort x zum Zeitpunkt t(x) folgende Gleichung: