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Mathematik Test - Kurvendiskussion

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?


1) Kurvendiskussion ist die Untersuchung des Graphen einer Funktion auf Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstelle), Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte oder Verhalten des Graphen an einer bestimmten Stelle oder im Unendlichen.Kurvendiskussion wird nicht nur in der Mathematik sondern in fast allen Naturwissenschaften benötigt. Im allgemeinen läuft eine Kurvendiskussion nach folgendem Schema ab:

Definitionsbereich bestimmen -> Nullstellen bestimmen  -> Symmetrie bestimmen -> Verhalten im Unendlichen bzw. an Definitionslücken -> Extrempunkte und Wendepunkte

a) Ja
b) Nein
 

2) Bei jeder Kurvendiskussion muss zuerst der Definitionsbereich bestimmt werden, d.h. man muss die x-Werte bestimmen, die in die Funktion nicht eingesetzt werden dürfen. Der Definitionsbereich ist die max. Zahlenmenge,  die für die Funktion ausführbar oder sinnvoll ist. Daher setzt dieser Teil einiges an Basiswissen voraus:

  • Die Division durch Null ist nicht möglich, daher muss der Definitionsbereich untersucht werden, wenn eine Variable im Nenner steht.
  • Potenzieren wie z.B. ax ist nur möglich, wenn a > 0.
  • Logarithmieren ist nur möglich, wenn das Argument > 0 ist
a) Ja
b) Nein
 

3) Weitere Möglichkeiten der Kurvendiskussion

  • Die Nullstelle (Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse) ist eine der leichteren Untersuchungen. Dabei wird die Funktion gleich Null gesetzt (f(x)=0) und nach x aufgelöst. 
  • Symmetrieuntersuchungen werden nicht immer durchgeführt. Wenn sie durchgeführt werden, wird auf Achsensymmetrie [f(x) = f(-x)] und Punktsymmetrie [f(-x) = -f(x] untersucht. 
a) Ja
b) Nein
 

4) Anschließend werden noch die Extrempunkte und Wendepunkte untersucht. Zur Bestimmung der Extrempunkt wird die Funktion f(x) abgeleitet. Danach wird die Ableitung f´(x) Null gesetzt und nach x (= xo) aufgelöst. Hiermit erhält man mögliche Extrempunkte. Zur Bestimmung, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, muss f´(x) abgleitet zu f´´(x) und der Wert xo, den man aus der ersten Ableitung erhalten eingesetzt werden. Es gilt:

  • f´´(xo) < 0  => Minium
  • f´´(xo) > 0  => Maxium
a) Ja
b) Nein
 

5) Zur Bestimmung eines Wendespunktes wird die zweite Ableitung gleich Null gesetzt und nach x (= xo) aufgelöst (f´´(x) = 0). Nun wird die zweite Ableitung f´´(x) abgeleitet zu f´´´´(x). Anschließend wird der aus der zweiten Ableitung bestimmte Wert xo in die dritte Ableitung eingesetzt. Gilt f´´´(xo) = 0, so liegt im Punkt x = xo ein Wendepunkt vor.

a) Ja
b) Nein
 

 

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