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Mischungstemperatur  - Mischung aus Eis und Wasser

Allgemeines

In der Thermodynamik bzw. Wärmelehre haben wir uns mit dem Wärmeaustausch und Wärmefluss in einem abgeschlossenen System befasst. Nun wollen wir die Grundprinzipien der Thermodynamik bzw. Wärmelehre anwenden. Dazu geben wir Eis in ein Gefäß mit warmen Wasser (das System ist dabei abgeschlossen, d.h. es findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt). Nun wollen wir die Mischungstemperatur berechnen, die sich einstellt, wenn wir die Mischung aus Eis und Wasser vorliegen haben, dass Eis schmilz und sich das Wasser einer gemeinsamen Endtemperatur angleicht.

Mischung aus Eis und Wasser

In diesem Kapitel befassen wir uns mit dem Vorgang, wenn wir Eis in Wasser geben. Gemäß den Grundprinzipien der Wärmelehre kommt es zu einem Wärmeaustausch (vom wärmeren Körper zum kälteren Körper). Im Gleichgewicht haben anschließend beide Körper die gleiche Temperatur. Allerdings müssen wir bei solchen Aufgaben unter Umständen berücksichtigen, dass beide "Körper" nicht im gleichen Aggregatzustand vorliegen bzw. eine Änderung des Aggregatzustands stattfindet (während des Prozesses der Wärmeangleichung). Daher ist bei einer Aufgabe, wie wir sie vorliegend haben, zu berücksichtigen, dass ein Teil der Wärmemenge (vom wärmeren Körper, also dem Wasser) benötigt wird, um das Eis zu schmelzen.

Wie gehen wir nun vor, um eine solche Aufgabe zu lösen?

1. Schritt: wir müssen "Vereinfachungen" einführen. In diesem Fall gehen wir davon aus, dass die Wärmemenge des Wassers ausreicht, um das ganze Eis zu schmelzen, so dass zuletzt nur (flüssiges) Wasser vorhanden ist, dass eine gemeinsame Endtemperatur hat.

2. Schritt: wir stellen Gleichungen auf. Da die Mischung aus Wasser und Eis vollständig isoliert (d.h. keinWärmeaustausch mit der Umgebung) abläuft, ist die Änderung der Wärmemenge in dem System gleich Null. => ∆Q(System) = 0.

3. Schritt: Betrachtung der physikalischen Vorgänge während dem Prozess der Wärmeangleichung:
  • Wir haben eine Wärmemenge, die benötigt wird, um das Eis zu schmelzen: ∆Q(Eis) = m(Eis) · L(Schmelzwärme)
  • Wir haben eine Wärmeenergie, die das zu Wasser geschmolzene (ehemalige) Eis aufnimmt: ∆Q(Wasser1) = m(Eis) · cw · ∆T1 , (cw = Wärmekapazität von Wasser,  die Temperaturdifferenz ist dabei  Mischungstemperatur - Eistemperatur)
  • Wir haben eine Wärmeenergie, die das warme Wasser abgibt: ∆Q(Wasser2) = m(Wasser) · cw · ∆T2 (die Temperaturdifferenz ist dabei Wassertemperatur - Mischungstemperatur)
4. Schritt: Aufstellen der Gesamtgleichung (aus den Teilvorgängen der Mischung Eis und Wasser)

  • ∆Q(System) = 0
  • ∆Q(System) = ∆Q(Eis) + ∆Q(Wasser1) + ∆Q(Wasser2) = m(Eis) · L(Schmelzwärme) +  m(Eis) · cw · ∆T1 + m(Wasser) · cw · ∆T2 = 0
  • 0 = cw · [m(Eis) · ∆T1  + m(Wasser) · ∆T2] + m(Eis) · L(Schmelzwärme)
  • cw · [m(Eis) · ∆T1  + m(Wasser) · ∆T2] = - m(Eis) · L(Schmelzwärme)
  • cw · [m(Eis) · [T(Mischungtemp) - T(Temperatureis)]  + m(Wasser) · [T(Wassertemp.) - T(Mischungstemperatur)]
  • T(Mischungstemperatur) = {cw · [m(Wasser)· T(Wassertemp.) + m(Eis) · T(Temperatureis)] - m(Eis) · L(Schmelzwärme)} :  {cw · [m(Wasser + m(Eis)]}

5. Schritt: Nun vollen wir sehen, ob unsere Gleichung auch stimmt anhand unserer Aufgaben. Wir mischen 100 g Eis (mit einer Temperatur von 0°C) und 1000 g Wasser mit einer Temperatur von 20°C. Die Wärmekapazität von Wasser beträgt 1 kcal pro kg pro °C und die Schmelzwärme von Eis beträgt 80 kcal pro kg.

T(Mischungstemperatur) = {1 kcal/kg·°C ·[1 kg· 20°C + 0,1 kg · 0 °C] - 0,1 kg · 334 kJ/kg} :  {4,18 kJ/kg°C · [1 kg + 0,1 kg]}

Spätestens hier fällt uns auf, dass die Masse des Eises, das wir ins Wasser werfen, nach dieser Formel keine Rolle spielen würde. Daher kann hier etwas nicht stimmen. Und tatsächlich: in der Thermodynamik müssen wir in K (absolute Temperatur) rechnen und nicht in °C.


T(Mischungstemperatur) = {4,18 kJ/kg°K ·[1 kg· 293,15 K + 0,1 kg · 273,15 K] - 0,1 kg · 334 kJ/kg} :  {4,18 kJ/kgK · [1 kg + 0,1 kg]}

T(Mischungstemperatur) = {4,18 kJ/kg°K ·[1 kg· 293,15 K + 0,1 kg · 273,15 K] - 0,1 kg · 334 kJ/kg} :  {4,18 kJ/kgK · [1 kg + 0,1 kg]}

T(Mischungstemperatur) = 284,06 K entspricht ungefähr einer Mischungstemperatur von 10,91 °C.


Andere Möglichkeit, die Aufgabe zu Lösen
:

Nachdem wir doch ins "Grübeln" mit unserer Formel gekommen sind, prüfen wir einen anderen Rechenweg,um die Mischungstemperatur einer Mischung aus Eis und Wasser zu bestimmen.


1.Schritt: Wir bestimmen zuerst die Schmelzwärme, die notwendig ist, um 100 g Eis zu schmelzen:

  • ∆Q(Eis) = m(Eis) · L(Schmelzwärme) = 0,1 kg · 334 kJ/kg = 33,4 kJ

2. Schritt: Die Wärmemenge, die notwendig ist, um das Eis zu schmelzen, stammt von dem (warmen Wasser). Wir rechnen nun aus, wie viel Wärmemenge das Wasser abgeben kann, damit es die Temperatur von 0°C erreicht.

  • ∆Q(Wasser) = m(Wasser) · cw  ·  ∆T  = 0,1 kg · 334 kJ/kg = 1 kg ·  4,18 kJ/kg°C · (20°C - 0°C) = 83,6 kJ
Nun kann man sich fragen, warum dieser Rechenschritt eingeführt wurde. Dieser Rechenschritt ermöglicht uns eine Aussage, ob die Mischung von Eis und Wasser zu einem sinnvollen Ergebnis führen kann. In dem ersten Rechenweg haben wir angenommen, dass die Wärmemenge des (warmen) Wassers ausreicht, um alles Eis zu schmelzen.

3. Schritt: Wir berechnen nun die Temperatur, die das komplette Wasser (bei einer Temperatur von °C) noch erreichen kann.

  • Das warme Wasser kann 83,6 kJ abgeben (bis es 0°C erreicht), das Eis benötigt 33,4 kJ um zu schmelzen, d.h. wir haben noch 50,2 kJ um dieses Wasser auf die Endtemperatur zu erwärmen.
  • ∆Q(Wasser) = m(Wasser) · cw  ·  ∆T  =>  ∆T = ∆Q(Wasser) : [m(Wasser) · cw] = 50,2 kJ : [1,1 kg · 4,18 kJ/kg°C] =  10,9 °C
Die Mischungstemperatur aus Eis und Wasser beträgt 10,9 °C