Die Faktorregel der Integration (Integralrechnung)

Je nach Typ der Funktion, die integriert werden soll, gibt es verschiedene Methoden der Integration. Im Allgemeinen lautet die Integration zu der Funktion f(x) folgende Stammfunktion F(x) + C = ∫ f(x) dx.

Die einfachste Rechenregel der Integration ist die Faktorregel der Integralrechnung. Die Faktorregel wird bei der Integralrechnung angewandt, wenn sich (vor dem zu integrierenden Term) ein Faktor befindet, der unabhängig von der zu integrierenden Variablen. Liegt dieser Fall vor, kann dieser Faktor aus dem Integral gezogen werden.

Faktorregel bei der Integralrechnung

Wie eingangs erwähnt, wird die Faktorregel in der Integration bei Funktionen wie f(x) = a⋅u(x) bzw. F(x) = ∫ a⋅f(x)dx verwendet.

In diesem Fall darf der (von der Variable) unabhängige Faktor aus dem Integral gezogen werden und der übrige Term im Integral wird nach den entsprechenden Regeln der Integralrechnung integriert und das Integral anschließend wieder mit dem Faktor multipliziert. Die nachfolgende Formel zur Integration einer Funktion mit einem konstanten Faktor zeigt uns, dass wir den den Faktor “ohne zu Integrieren” diesen Faktor (unverändert) vor das Integral schreiben dürfen.

∫c⋅f(x) dx =c⋅∫f(x) dx = c⋅F(x)

Die Faktorregel hilft uns also bei einer Integration einen zu integrierenden Term zu vereinfachen, indem wir einen konstanten Faktor vor das Integralzeichen ziehen und damit die Integration vereinfachen (wir müssen nur noch einen “kleineren” Term integrieren)

Beispiel:

  • f(x) = 10x
  • F(x) = ∫10⋅x dx =10⋅∫x dx = 10⋅1/2⋅x² = 5x²

Beweis der Richtigkeit der Faktorregel

ab c⋅f(x) dx = [c⋅F(x)]a = c⋅F(b) – c⋅F(a) = c⋅[F(b)−F(a)] = c⋅∫af(x)dx

Um die Faktorregel der Integration zu beweisen, verwenden wir einfach die Definition eines Integrals. Das bestimmte Integral entspricht der Differenz zwischen Obersumme und Untersumme. ∫af(x)dx = F(b) – F(a)


Die Faktorregel der Integration (Integralrechnung) – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Definition für die Faktorregel der Integration in der Integralrechnung?

Die Faktorregel der Integration besagt, dass das Integral einer Funktion, die mit einer Konstanten multipliziert wird, gleich dem Produkt dieser Konstanten und des Integrals der Funktion ist. Die Formel ist ∫a*f(x) dx = a ∫f(x) dx, wo a eine Konstante und f(x) die Funktion ist.

2. Welche Hauptidee ist die Grundlage für die Faktorregel in der Integralrechnung?

Die Hauptidee hinter der Faktorregel in der Integralrechnung ist die lineare Eigenschaft des Integrals, die es ermöglicht, Konstanten vor das Integral zu ziehen.

3. Wie wendet man die Faktorregel auf das Integral ∫7x dx an?

Um die Faktorregel auf das Integral ∫7x dx anzuwenden, zieht man die Konstante 7 vor das Integral, was zu 7∫x dx führt. Das Integral von x ist 1/2 x². Also ist 7∫x dx = 7 * 1/2 x² = 7/2 x².

4. Wie lautet die Faktorregel, wenn man sie auf unbestimmte Integrale anwendet?

Wenn die Faktorregel auf unbestimmte Integrale angewendet wird, bleibt sie dieselbe: ∫a*f(x) dx = a ∫f(x) dx. Es sollte jedoch darauf geachtet werden, dass die Konstante a im Integral ∫a*f(x) dx nicht verändert wird.

5. Wie gelten Regeln für Konstanten in der Faktorregel der Integration?

Die Regeln besagen, dass jede Konstante, die eine Funktion in einem Integral multipliziert, als Faktor vor dieses Integral gezogen werden kann, was der Ausdruck ∫a*f(x) dx = a ∫f(x) dx zeigt.

6. Wie wendet man die Faktorregel auf das bestimmte Integral ∫ from 1 to 2 3x^2 dx an?

Um die Faktorregel anzuwenden, zieht man die Konstante 3 vor das Integral. Somit bekommt man 3∫ from 1 to 2 x^2 dx. Dann berechnet man das Integral von x^2 von 1 bis 2 und multipliziert das Ergebnis mit 3.

7. Kann die Faktorregel der Integration auf multiple Konstanten angewendet werden?

Ja, die Faktorregel der Integration kann auf multiple Konstanten angewendet werden. Wenn mehrere Konstanten eine Funktion in einem Integral multiplizieren, können alle diese Konstanten als Faktoren vor das Integral gezogen werden.

8. Wie lautet die Faktorregel, wenn sie auf Funktionen mit mehreren Termen angewendet wird?

Die Faktorregel, wenn auf Funktionen mit mehreren Termen angewendet, behält ihre Form bei, solange der zu integrierende Ausdruck als Produkt einer Konstante und einer Funktion betrachtet werden kann.

9. Was passiert, wenn die Konstante in einem Integral negativ ist?

Wenn die Konstante in einem Integral negativ ist, wird sie ziehen vor das Integral. Dies ändert das Vorzeichen des Ergebnisses. Zum Beispiel ist das Integral von -f(x) dx gleich – ∫f(x) dx.

10. Wie wirkt sich die Faktorregel der Integration auf die endgültigen Ergebnisse aus?

Die Faktorregel der Integration beeinflusst das Endergebnis in dem Sinne, dass sie die Berechnung des Integrals vereinfacht und es ermöglicht, unabhängige Teile der Funktion separat zu integrieren.

Autor: , Letzte Aktualisierung: 27. Juli 2023