Die Summenregel der Integration (Integralrechnung)

Je nach Typ der Funktion, die integriert werden soll, gibt es verschiedene Methoden der Integration. Im Allgemeinen lautet die Integration zu der Funktion f(x) folgende Stammfunktion F(x) + C = ∫ f(x) dx.

Die Summenregel wird verwendet, wenn eine Funktion f(x), die integriert werden soll, aus mehreren Summanden besteht. Die Summenregel besagt dabei, das das Integral einer Summe zweier (oder mehrerer) Funktionen gleich der Summe der Einzelintegrale ist

Summenregel bei der Integralrechnung

Wie eingangs erwähnt, wird die Summenregel in der Integration bei Funktionen wie f(x) = u(x) + v(x)  bzw. F(x) = ∫ [u(x) + v(x)]dx verwendet (die Summenregel gilt nicht nur bei Summen, sondern auch bei Differenzen).

Damit die Summenregel angewendet werden kann, muss die Funktion f(x) aus mehreren Termen bestehen, die durch Pluszeichen oder Minuszeichen  verbunden sind. Die Summenregel besagt, dass wir bei der Integration einer solchen Funktion jeden Summanden einzeln integrieren dürfen und anschließend die Integrale zusammen addieren bzw. subtrahieren.

Formel der Summenregel

F(x) = ∫ [u(x) + v(x)]dx = ∫ u(x)dx  + ∫ v(x)dx = U(x) + V(x) + C

Hinweise zur Summenregel

  • Hat man die einzelnen Summanden einzeln integriert (zu Einzelintegralen) und die Summe der Integrale addiert, so wird nur eine Integralkonstante verwendet. Man zieht die Integral- bzw. Integrationskonstanten der Einzelintegrale zu einer Konstanten zusammen. Man schreibt also nicht F(x) = U(x) + C + V(x) + C’, sondern fast diese Konstanten zu einer neuen Konstanten C zusammen.
  • Warum spricht man bei der Integration eigentlich immer nur von der “Summenregel” und nicht auch von einer “Differenzenregel”. Dies liegt an der sogenannten Vertauschungsregel. Diese besagt, dass das Vertauschen von Integrationsgrenzen ein Vorzeichenwechsel des (bestimmten) Integrals bedingt. In diesem Fall wird aus einer Differenz auch eine Summe. F(x) = ∫ab [u(x) – v(x)]dx = ∫ab u(x)dx  –  ∫ab v(x)dx = ∫ab u(x)dx  +  ∫ba v(x)dx
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