Die Potenzregel der Integration (Integralrechnung)

Je nach Typ der Funktion, die integriert werden soll, gibt es verschiedene Methoden der Integration. Im Allgemeinen lautet die Integration zu der Funktion f(x) folgende Stammfunktion F(x) + C = ∫ f(x) dx.

Eine grundlegende Regel der Integration ist die Potenzregel. Mithilfe der Potenzregel der Integralrechnung werden alle Funktionen der Form f(x) = xⁿ integriert.

Potenzregel bei der Integralrechnung

Wie erwähnt, dient die Potenzregel zur Integration von Funktionen der Form f(x) = xⁿ ,wobei der Exponent n eine rationale Zahl und x die Variable ist, die integriert wird. Der Exponent n kann daher eine ganze Zahl oder auch ein Bruch sein. Allerdings gibt es für den Exponent n eine Einschränkung. Für die “Definitionsmenge” muss gelten, alle rationalen Zahlen mit n ≠ -1. Das Integral von f(x) = xⁿ lautet F(x) = ∫ f(x)dx = ∫ x^-1 dx = ln(x) + C

Die Integration einer Potenz läuft in zwei einfachen Schritten ab:

• Der Exponent n der Potenz wird (beim Integrieren) um “+1” erhöht, aus “n” wird also “n+1”
• Vor der integrierten Potenz schreibt man den Faktor [1 : (n+1)]

Potenzregel der Integration

• f(x) = xⁿ
• F(x)= ∫ f(x)dx= [1:(n+1)]⋅xⁿ⁺¹ + C

Beispiel:

• f(x) = x
• F(x)= ∫ f(x)dx= [1:(1+1)]⋅x¹⁺¹ + C = (1/2)⋅x² + C

Hinweis:

Die Potenzregel der Integralrechnung lässt sich mithilfe der Potenzregel der Differentialrechnung beweisen. Dabei muss gelten: Die Funktion F(x) ist genau dann die Stammfunktion von f(x) wenn gilt: F'(x) = f(x)

Die Potenzregel der Integration (Integralrechnung) – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die Potenzregel der Integration?

Die Potenzregel der Integration ist ein Hilfsmittel in der Mathematik, das verwendet wird, um das Integral einer Funktion zu berechnen, deren Variable zu einer Potenz erhöht wurde. Die Regel besagt, dass das Integral von x^n dx gleich x^(n+1) / (n+1) + C ist, wobei C die Konstante der Integration ist.

2. Wie lautet die mathematische Formel für die Potenzregel der Integration?

Die mathematische Formel für die Potenzregel der Integration lautet ∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C, wobei n jede reale Zahl außer -1 ist.

3. Wie wendet man die Potenzregel der Integration auf die Funktion ∫x^3 dx an?

Die Potenzregel der Integration wird auf die Funktion ∫x^3 dx angewendet, indem n durch 3 ersetzt wird, so dass das Ergebnis x^(3+1) / (3+1) + C oder x^4 / 4 + C ist.

4. Warum ist die Potenzregel der Integration für n = -1 nicht definiert?

Die Potenzregel der Integration ist für n = -1 nicht definiert, weil die Division durch Null in der Mathematik nicht definiert ist und das Ergänzen von 1 zu -1 Null erzeugt.

5. Wie würde man das Integral von ∫x^-2 dx mithilfe der Potenzregel der Integration berechnen?

Auch wenn die Potenzregel der Integration für n = -1 nicht definiert ist, kann sie für n = -2 angewendet werden. Man erhöht -2 um eins und dividiert durch das Ergebnis, um x^(-2+1) / -1, oder -x^-1 + C zu erhalten, was gleich -1/x + C ist.

6. Wie wendet man die Potenzregel der Integration auf die Funktion ∫x^-1 dx an?

Da die Potenzregel der Integration für n = -1 nicht definiert ist, kann man sie nicht direkt auf die Funktion ∫x^-1 dx anwenden. Stattdessen wird das Ergebnis des Integrals als natürlicher Logarithmus oder ln|x| + C angegeben.

7. Wie wird die Potenzregel der Integration auf die Funktion ∫x^0 dx angewendet?

Die Potenzregel der Integration kann auf die Funktion ∫x^0 dx angewendet werden, indem n durch 0 ersetzt wird. Da jedes Reale Zahl, außer null, zur Potenz 0 gleich 1 ist, wird das Integral als x^(0+1) / (0+1) + C oder x + C berechnet.

8. Wie wendet man die Potenzregel in Kombination mit der Produktregel der Integration an?

Um die Potenzregel in Kombination mit der Produktregel der Integration anzuwenden, muss man zuerst die Funktion in der Form u dv haben. Dabei ist u eine Funktion von x und dv eine andere Funktion von x multipliziert mit dx. Dann kann man die Potenzregel auf u und die Produktregel auf uv – ∫v du anwenden.

9. Wie kann die Potenzregel der Integration bei der Lösung eines bestimmten Integrals helfen?

Die Potenzregel der Integration kann bei der Lösung eines bestimmten Integrals helfen, indem sie einen mehr systematischen und effizienteren Weg zur Berechnung des Integrals bietet. Sobald das unbestimmte Integral berechnet ist, kann das bestimmte Integral durch einfaches Einsetzen der Grenzen und Berechnung der Differenz ermittelt werden.

10. Wie wendet man die Potenzregel auf Funktionen mit komplexeren Potenzen an, wie zum Beispiel ∫x^2.5 dx?

Die Potenzregel der Integration kann auch auf Funktionen mit komplexeren Potenzen angewendet werden, indem man die Potenz genau wie bei einfacheren Potenzen behandelt. In diesem Fall würde man das Integral als x^(2.5+1) / (2.5+1) + C oder 2/5 * x^3.5 + C berechnen.