Die Potenzregel der Integration (Integralrechnung)

Je nach Typ der Funktion, die integriert werden soll, gibt es verschiedene Methoden der Integration. Im Allgemeinen lautet die Integration zu der Funktion f(x) folgende Stammfunktion F(x) + C = ∫ f(x) dx.

Eine grundlegende Regel der Integration ist die Potenzregel. Mithilfe der Potenzregel der Integralrechnung werden alle Funktionen der Form f(x) = xn integriert.

Potenzregel bei der Integralrechnung

Wie erwähnt, dient die Potenzregel zur Integration von Funktionen der Form f(x) = xn ,wobei der Exponent n eine rationale Zahl und x die Variable ist, die integriert wird. Der Exponent n kann daher eine ganze Zahl oder auch ein Bruch sein. Allerdings gibt es für den Exponent n eine Einschränkung. Für die „Definitionsmenge“ muss gelten, alle rationalen Zahlen mit n ≠ -1. Das Integral von f(x) = xn lautet F(x) = ∫ f(x)dx = ∫ x-1 dx = ln(x) + C

Die Integration einer Potenz läuft in zwei einfachen Schritten ab:

  • Der Exponent n der Potenz wird (beim Integrieren) um „+1“ erhöht, aus „n“ wird also „n+1“
  • Vor der integrierten Potenz schreibt man den Faktor [1 : (n+1)]

Potenzregel der Integration

  • f(x) = xn
  • F(x)= ∫ f(x)dx= [1:(n+1)]⋅xn+1 + C

Beispiel:

  • f(x) = x
  • F(x)= ∫ f(x)dx= [1:(1+1)]⋅x1+1 + C = (1/2)⋅x2 + C

Hinweis:

Die Potenzregel der Integralrechnung lässt sich mithilfe der Potenzregel der Differentialrechnung beweisen. Dabei muss gelten: Die Funktion F(x) ist genau dann die Stammfunktion von f(x) wenn gilt: F'(x) = f(x)