Was ist eine Integration in der Mathematik (Integralrechnung)

Im Allgemeinen ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differenzialrechnung (Integration ist die Umkehr der Ableitung): Der Zusammenhang zwischen Integral (wird als Stammfunktion F(x) bezeichnet) und „Ableitung“ f(x) lautet: F(x) + C = ∫ f(x) dx und  F'(x) = f(x).

Die Integration bzw. die Integralbildung einer Funktion diente ursprünglich zur Bestimmung eines Flächeninhaltes unterhalb eines Funktionsgraphens (zwischen Graph und x-Achse). Dieser Flächeninhalt (das sogenannte bestimmte Integral) ist heute in der Mathematik eher von untergeordneter Bedeutung. Meistens will man heute das unbestimmte Integral einer Funktion (= die Stammfunktion) bestimmen. Eine Funktion (die Stammfunktion als unbestimmtes Integral) bietet mehr Möglichkeiten (=> Kurvendiskussion), als nur die einfache Betrachtung eines Wertes (Flächeninhalt, bestimmte Integral)

Integration bzw. Integralrechnung in der Mathematik

Das Integral wurde (eigentlich) entwickelt, um den Flächeninhalt unter einem Graphen zu ermitteln. Dazu folgendes Beispiel: Wir betrachten und den Graphen der Funktion f(x) (in der Abbildung rot dargestellt). Nun möchten wir gerne wissen, welchen Flächeninhalt sich unter dem Graphen (jeweils bis zur x-Achse) befindet. Dazu hat man den Flächeninhalt (in der Abbildung durch die blauen und rote Linien eingegrenzt) in möglichst viele Rechtecke unterteilt.

Integralrechnung in der Mathematik

Integralrechnung in der Mathematik

Der Vorteil eines Rechtecks: Der Flächeninhalt kann einfach berechnet werden, nämlich aus Länge x Breite. In unserem Fall entspricht die Bereite der Differenz zwischen zwei x-Werten (z.B. Δx = x2 – x1). Die Höhe unseres Rechtecks entspricht (etwa) dem Funktionswert (= y-Wert) an der Stelle x1. Daher kann man nun den Flächeninhalt unter dem Graphen folgendermaßen ermitteln:

Fläche =  f(x1)·(x2-x1) + f(x2)·(x3-x2) + f(x3)·(x4-x3) + ………….

Fläche =  Σ f(xi)·Δx

Vergleicht man nun das Integral einer Funktion lässt sich die ehemalige Verwendung eines Integrals deutlich erkennen

F = ∫ f(x)·dx  (d steht für Differential, also unendlich keine Δ)

Heute kennt man zwei Arten von Integralen, das bestimmte und das unbestimmte Integral. Das bestimmte Integral entspricht dem Flächeninhalt unter einem Graphen zwischen zwei x-Werten. Das unbestimmte Integral hingegen ist eine Funktion (und kein Zahlenwert). Das unbestimmte Integral einer Funktion wird als die Stammfunktion bezeichnet der ursprünglichen Funktion bezeichnet.

Wann ist eine Funktion f(x) integrierbar, d.h. wenn existiert eine Stammfunktion F(x)?

Eine Funktion ist integrierbar, wenn sie in dem Bereich, in dem sie integriert werden soll (bestimmtes Integral) oder über den gesamten Definitionsbereich (unbestimmtes Integral) stetig ist. Stetig ist eine Funktion, wenn zwischen den Funktionswerten „keine Sprünge“ vorhanden sind, d.h. die Funktionswerte des Graphen lassen sich übergangslos (d.h. ohne Sprünge) aneinanderfügen („man muss beim Zeichnen des Graphens den Stift nicht absetzen“)

Unbestimmte Integrale (die Stammfunktion F(x)) lassen sich je nach Typ der Funktion f(x) mit verschiedenen Rechenoperationen der Integralrechnung lösen. Diese Rechenoperation sind die Differenz-, Potenz- und Faktorregel der Integration. Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für kompliziertere Integrationen, die partielle Integration und die Integration durch Substitution.