Partielle Integration – Rechenoperationen in der Integralrechnung

Im Allgemeinen ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differenzialrechnung (Integration ist die Umkehr der Ableitung): Der Zusammenhang zwischen Integral (wird als Stammfunktion F(x) bezeichnet) und “Ableitung” f(x) lautet: F(x) + C = ∫ f(x) dx und  F'(x) = f(x).

Zur Berechnung von Integralen gibt es verschiedene Rechenoperationen. Eine dieser Integration-Rechenoperationen ist die sogenannte partielle Integration. Die partielle Integration ist eine Methode zur Berechnung von Integralen in der Regel, wenn es sich bei der grundlegenden Funktion um ein Produkt handelt, also f(x) = u(x) · v(x)). Dabei wendet man die partielle Integration, wenn ein Term bzw. Faktor (des Produktes) einfach zu integrieren ist und der zweite Term nicht einfach zu integrieren ist.

Die partielle Integration

Wie eingangs erwähnt, wird die partielle Integration bei einer Funktion bzw. einem Produkt verwendet. Mithilfe der partiellen Integration lassen sich Funktionen integrieren, die ein Produkt zweier Funktionen sind. Dabei ist ein Term (also ein Faktor) des Produkts bzw. dessen Integral / Stammfunktion bekannt.

Die Formel der partiellen Integration lassen sich aus der Produktregel der Differenzialrechnung herleiten:

f(x) = u(x)·v(x)

f'(x) = (u(x)· v(x))’ = u'(x)·v(x) + u(x) v'(x)   (auf beiden Seiten ziehen wir [u(x)·v'(x)] ab)

(u(x)· v(x))’ – u(x)·v'(x)   = u'(x)·v(x) (nun integrieren wir)

u(x)· v(x) – ∫ u(x)·v'(x) dx = ∫ u'(x) v(x) dx

Hieraus leitet sich die Formel der partiellen Integration ab

∫ u'(x)·v(x) dx = u(x)·v(x) – ∫ u(x)·v'(x) dx

Die partielle Integration an einem Beispiel

Beispiel:  f(x) = x·ln(x), gesucht ist die Stammfunktion F(x) = ∫ x·ln(x) dx

  • 1. Schritt: Wir bestimmen zuerst u'(x) und v(x). Dazu wählen wir u'(x) = x und v(x) = ln(x). Dies in dem Sinne, da wir u'(x) = “x” relativ einfach integrieren können.
  • 2. Schritt: Wir benötigen noch die Stammfunktion von u'(x) = x. Diese Stammfunktion u(x) lautet: 1/2· x²
  • 3. Schritt: Wir benötigen noch die Ableitung von v(x) = ln(x). Die Ableitung v'(x) lautet: 1/x
  • 4. Schritt:  Wir setzen nun diese Terme in die Formel der partiellen Integration ein.

F(x) = ∫ x·ln(x) dx = 1/2·x² · ln(x) –  ∫ 1/2·x²  ·1/x dx = 1/x² ·ln(x) – ∫ 1/2·x dx

  • 5. Schritt: Lösung des Integrals ∫ 1/2x dx = 1/4 x²
  • 6. Schritt: Hinzufügen der sogenannten Integrationskonstante C
F(x) = 1/2 ·x²· ln(x) – 1/4 · x² + C
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