Stochastik

Das Wort “Stochastik” steht für die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Beide Teilgebiet sind für fast alle MINT-Fächer von erheblicher Bedeutung. Aus diesem Grund soll auf Lernort-MINT.de in dieses Themengebiet eingeführt werden.

Stochastik

Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik (was jedem klar ist), dabei besteht das Teilgebiet “Stochastik” wiederum aus zwei Teilgebieten, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Diese sollte man etwas näher betrachten, um “Stochastik” besser verstehen zu können, da die beiden Teilgebiet fast konträr sind:

• In Teilgebiet Wahrscheinlichkeitsrechnung untersucht man zufällige Situationen mit festen als bekannt angegebenen Wahrscheinlichkeiten, d.h. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten andere Wahrscheinlichkeiten berechnet (Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei dreimal Würfeln, dreimal eine “6” zu erhalten).
• Im Teilgebiet Statistik “berechnet” man aus bekannten Daten bis dahin unbekannte Wahrscheinlichkeiten und leitet hieraus Aussagen oder Eigenschaften ab.

Erklärung anhand des Würfelexperimentes

Da bekannt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit p bei einem idealen Würfel eine bestimmte Zahl gewürfelt wird, kann man die Wahrscheinlichkeit eines vorgegebenen Ereignisses (z.B. zwei 6er)berechnen. Dies ist das Teilgebiet Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wichtig ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht Wirklichkeiten abbildet (es gibt keinen idealen Würfel), sondern nur Möglichkeiten.

Nun kann man zum Vergleich dazu mit dem Würfel 100mal würfeln und das Ergebnis (bzw. die Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintritt) berechnen und interpretieren. So lässt sich beispielsweise sagen, ob es sich um einen idealen Würfel oder nicht handelt.

Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein geeignetes Instrument zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Experimenten ist das sogenannte Baumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm ist das Produkt der jeweils auftretenden Einzelwahrscheinlichkeiten.

Verwendung des Gebietes “Stochastik”

• Ein wichtiges Anwendungsgebiet der “Stochastik” ist die Qualitätskontrolle. Hierbei soll der Ausschußanteil in Produktionsprozessen ermitteln werden, so dass der Ausschußanteil unter einer vorgegebenen Grenze liegt (Teilgebiet: Statistik)
• Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der “Stochastik” liegt z.B. bei der Berechnung von Risiken für Versicherungen (Teilgebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung).

• Absolute und relative Häufigkeit
• Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
• Bernoulli-Experimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Eine Einführung in die wichtigen Begriffe: Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Eine Einführung in die wichtigen Begriffe: Experimenttypen
• Hypothesentest in der Stochastik
• Kombinationen – Grundlagen der Kombinatorik
• Permutationen – Grundlagen der Kombinatorik
• Stochastik – Die Vierfeldertafel
• Variationen – Grundlagen der Kombinatorik
• Wahrscheinlichkeitsrechnung – Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
• Zufallsexperiment in der Stochastik

Stochastik – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die Hauptdefinition von Stochastik?

Stochastik ist ein Teilbereich der Mathematik, der sich mit Zufallsphänomenen und unsicherer Information befasst. Sie gliedert sich in die Bereiche Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

2. Definieren Sie ein “Zufallsexperiment”.

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem das Ergebnis nicht sicher vorhersagbar ist. Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden als Elementarereignisse bezeichnet.

3. Was ist der Unterschied zwischen einem deterministischen und einem stochastischen Prozess?

Ein deterministischer Prozess hat feste, vorhersehbare Ergebnisse, während ein stochastischer Prozess auf Zufall basiert und somit variierende Ergebnisse produziert.

4. Was versteht man unter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit zuweist.

5. Was versteht man unter einer “bedingten Wahrscheinlichkeit”?

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintrifft, gegeben, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

6. Was bedeutet “Erwartungswert” in der Stochastik?

Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert, den ein Zufallsexperiment bei wiederholter Durchführung hervorbringen würde.

7. Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ausgang eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

8. Erklären Sie den Begriff “Statistische Unabhängigkeit”.

Statistische Unabhängigkeit bedeutet, dass das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

9. Was ist eine Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die das Verhalten von Zufallsexperimenten mit binärem Ausgang (Erfolg/Misserfolg) beschreibt.

10. Definieren Sie das Gesetz der großen Zahlen in der Stochastik.

Das Gesetz der großen Zahlen in der Stochastik besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei wiederholter Durchführung eines Zufallsexperiments auf die theoretische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zubewegt.