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Bernoulli-Experimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung


 

Allgemeines über Experimenttypen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik):

Es gibt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zwei Experimenttypen, die einem immer wieder begegnen. Das sind einerseits Laplace-Experimente und auf der anderen Seite Bernoulli- Experimente.  Als Bernoulli - Experiment wird dabei ein Zufallsexperiment bezeichnet, bei denen sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden, d.h es sind nur zwei Ergebnisse möglich. Als Laplace-Experiment wird ein Zufallsexperiment bezeichnet, bei dem davon ausgegangen wird, dass jeder Versuchsausgang gleich wahrscheinlich ist, d.h alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

Sowohl das Laplace-Experiment als auch das Bernoulli-Experiment sind einfach berechenbar. Man kann den Ausgang eines einzelnen Ergebnisses bzw. Experimentes zwar nicht vorhersagen, aber man kann Wahrscheinlichkeiten abschätzen und Prognosen erstellen. Im folgenden Kapitel wird die Formel zur Berechnung von Bernoulli-Experimenten vorgestellt.

Das Bernoulli-Experiment

Wie eingangs erwähnt, wird ein Bernoulli-Experiment als ein Zufallsexperiment bezeichnet, bei dem es nur zwei möglichen Ergebnisse bzw. Ereignisse gibt. Damit zählt das Bernoulli-Experiment zu den wichtigen "statistischen" Verfahren in den Naturwissenschaften, denn oft (in der Chemie oder Physik) ist nur das Ergebnis "Ja" bzw. "Nein" von Interesse. Nun kann man ein Bernoulli-Experiment auch mehrmals durchführen (was man in der Regel auch macht, schließlich führt eine mehrfache Versuchsdurchführung zu einer aussagekräftigeren Statistik). Hierbei spricht man dann von einer sogenannten Bernoulli-Kette.

Damit wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses bei einem Bernoulli-Experiment bzw. Bernoulli-Kette berechnen können, wiederholen wir zwei wichtige Eigenschaften der Bernoulli-Ketten. Die einzelnen Ereignisse bzw. Wahrscheinlichkeiten des Eintretens beeinflussen sich gegenseitig nicht und die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten bzw. Nichteintreten eines Ereignisses ist bei jedem Versuch gleich groß.

Wie wir in dem einführenden Kapitel zu Baumdiagrammen erkannt hatten, lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer Kette von Zufallsexperimenten mit Hilfe eines Baumdiagramms lösen (für eine "überschaubare" Anzahl n von Experimenten). Genauso lässt sich eine beliebige Bernoulli-Kette ebenfalls durch ein Baumdiagramm veranschaulichen bzw. berechnen:

bernoulli

In der Regel verwendet man zur Veranschaulichung eines Baumdiagramms bzw.Ereignisbaums die Zahlen 0 und 1 (ähnlich wie in der Informatik, daran merken wir bereits, dass Stochastik und Informatik sehr viel gemeinsam haben). Für das Eintreten (in unserem Beispiel: das Antreffen der Kugel rot) des Ereignisses wird mit "1" und das Nichteintreten wird mit 0 bezeichnet. Jede dieser Ereignisse (Eintreten bzw. Nichteintreten) hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, die in Formelsammlungen in der Regel mit p (Wahrscheinlichkeit - Eintritt) und q (Wahrscheinlichkeit - Nichteintritt) gekennzeichnet werden.

Nun könnten wir eine solche Bernoulli-Kette mit Hilfe eines Baumdiagramms herleiten, wie im Kapitel "Baumdiagramm" erklärt. Zusammengefasst: Für die beiden Wahrscheinlichkeiten nehmen wir an: p und q = (1 - p). Wir betrachten nun den Ereignisbaum bei einer Anzahl mit n-Experimenten und einer Anzahl von k "eingetretenen Ereignissen" (z.B. Kugel "rot").Gemäß der bedingten Wahrscheinlichkeitsregel gilt für diese Wahrscheinlichkeit: 

P = pk · q (n-k)

Bisher haben wir aber nur einen Ast mit einem bestimmten Ergebnis betrachtet, in dem Baumdiagramm bzw. Ereignisbaum gibt es aber noch mehr "Verästelungen". Daher müssen wir nun noch die Zahl der Verästelungen bestimmen. Und auch hier wieder nur die Zusammenfassung aus den vorangegangenen Kapitel: Es handelt sich hier um eine Kombination ohne Wiederholung und die Reihenfolge der Ereignisse hat keinen Einfluss auf weitere Ereignisse. Danach gilt folgende Formel:

Anzahl Wege beim Bernoulli

Nun haben wir unsere Formel für den Bernoulli-Versuch hergeleitet. Wir müssen einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Ereignis (einen bestimmten Ast) mit der Anzahl der Verästelungen (bzw. Wege) multiplizieren.

Bernoulli-Formel