Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Mit Hilfe des Baumdiagramms lassen sich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung mögliche Versuchsausgänge von Zufallsexperimenten darstellen und so die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Versuchsausgänge in einfacher Weise bestimmen.

Baumdiagramm

Allgemein versteht man unter einem Baumdiagramm die graphische Darstellung eines Experiment- bzw. Ereignisverlaufs. Jedes Experiment bzw. Ereignis wird schrittweise dargestellt. Der Vorteil des Baumdiagramms: Es spielt es keine Rolle, ob die Experimente mit oder ohne Wiederholung durchgeführt werden.

Ein Baumdiagramm besteht, ausgehend von einem Startpunkt auf der linken Seite des Blattes bzw. oben, aus einer Anzahl von Ästen, die von diesem Punkt weggehen. Jeder dieser Äste symbolisiert einen möglichen Ausgang des Experimentes (Zahl der verschiedenen Möglichkeiten = Zahl der Äste, z.B. ein Würfelwurf hat 6 mögliche Ergebnisse => 6 Äste gehen vom Startpunkt weg). Von jedem Ende des ersten Experiments (von jedem Ast), geht beim zweiten Experiment erneut eine Anzahl von Ästen aus, die den Ergebnissen dieses Zufallexperimentes entspricht.

Beispiel

Man wirft eine Münze, als mögliches Ereignis gibt es Wappen (w) und Zahl (z). Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des jeweiligen Ergebnisses ist 0,5 (50%). Da es sich um ein Laplace-Experiment (Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment bei dem davon ausgegangen wird, dass jeder Versuchsausgang gleich wahrscheinlich ist) handelt, konnte die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis leicht bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses berechnet sich somit aus: (Anzahl aller Möglichkeiten mit diesem Ergebnis): (Anzahl aller Möglichkeiten) => in diesem Fall: 1 : 2 = 0,5

Nun kann man ein Baumdiagramm für 3 Münzwürfe entwickeln.

Baumdiagramm für 3 Münzwürfe

Möchte man nun ein bestimmtes Ereignis ermitteln, so muss man nur den entsprechenden Pfad bestimmen, d.h. die Einzeilwahrscheinlichkeiten des Pfades werden miteinander multipliziert.

Beispiel: Man hätte gerne die Wahrscheinlichkeit, mit der zweimal hintereinander Wappen (w) erscheint und beim dritten Mal die Zahl (z).

Der entsprechende Pfad sieht also so aus: w,w,z Nun multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 0,5·0,5·0,5 = 0,125 => Die Wahrscheinlichkeit beträgt 12,5%.

Wie in der Einleitung beschrieben, kann das Baumdiagramm-Verfahren auch für Experimente “ohne Zurücklegen” verwendet werden.

Beispiel: Man hat 5 Kugeln, davon 3 schwarze und 3 rote Kugel. Nun zieht man nacheinander eine Kugel.

Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

Man kann die Einzelwahrscheinlichkeiten auch hier relativ einfach berechnen. Beim ersten Zug hat man noch 5 Kugel, davon 3 schwarze und 2 rote. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel 3/5 und für eine rote Kugel 2/5. Beim zweiten Ziehen darf man nicht vergessen, dass nun nur noch 4 Kugel vorhanden sind, zusätzlich muss beachtet werden, welche Kugel bei welchem Pfad nicht mehr vorhanden ist. Hat man z.B. bei ersten Ziehen eine schwarze Kugel gezogen, so hat man nur noch 4 Kugeln, davon 2 schwarze und 2 rote Kugeln. Somit ergibt sich für beide Farben jeweils die Wahrscheinlichkeit 2/4.