Stochastik – Die Vierfeldertafel

Unter einer Vierfeldertafel versteht man eine “Tafel”, die Zahlenwerte der möglichen Ergebnisse eines Experimentes darstellt. Mit Hilfe der Vierfeldertafel lassen sich die relativen Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen darstellen. Wie der Name schon sagt, besteht die Tafel aus vier Feldern, nämlich:

• Ereignis 1 (A) und Ereignis 2 (B) treten beide auf.
• A tritt auf und B nicht.
• B tritt auf und A nicht.
• keines der Ereignisse auftritt:

Aufbau einer Vierfeldertafel:

Wie bereits oben erwähnt, wird eine Vierfeldertafel aus vier Feldern aufgebaut. Mit Hilfe dieser Tafel lassen sich sehr einfach bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen (d.h. die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Voraussetzzung, dass ein anderes Ereignis eintritt bzw. nicht eintritt). Außerdem kann man so ermitteln, ob die Ereignisse statistisch unabhängig sind.

Die Vierfeldertafel enthält als Zeilensummen und als Spaltensummen die Häufigkeitsverteilungen der einzelnen Ereignisse.

Wiederholung einiger wichtiger Begriffe:

• Die absolute Häufigkeit gibt die Anzahl des Eintretens eines Ereignisses E bei n Versuchen wieder (eine natürliche Zahl)
• Die relative Häufigkeit gibt das Verhältnis der absoluten Häufigkeiten zur Anzahl n der Versuchsdurchführungen wieder (eine Dezimalzahl, max. 1)
• Zwei Ereignisse werden als (statistisch) unabhängig bezeichnet, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses hat.

Beispiel:

In einer Klasse mit 30 Schülern haben 19 Schüler in Mathematik die Note 2 und 40% der Schüler sind männlich. Von den männlichen Schülern haben 5 Schüler keine Note 2 in Mathematik.

Vorgehensweise:

• Zuerst werden in die Vierfeldertafel, also in die Tabelle die Werte für absolute (man kann auch mit den relativen rechnen) Häufigkeiten eingetragen. Dazu muss man erstmal bestimmen, was denn die beiden gesuchten Ereignisse (A und B) sind. In dieser Aufgabe ist dies sehr leicht zu bestimmen, man hat nur zwei Ereignisse  (männlich/weiblich) und  (Note 2/ nicht Note 2)
• Nun muss man die einzelnen Häufigkeiten ausrechnen. 40% der Schüler sind männlich => 30·0,4 = 12, d.h. 12 Schüler sind männlich. Da die Klasse 30 Schüler hat sind 30 – 12 = 18 weiblich. 19 Schüler haben die Note 2, d.h. 11 Schüler haben nicht die Note 2. Zusätzlich haben 5 männliche Schüler nicht die Note 2. Die kann man nun in die Vierfeldertafel einzeichnen.

• Nun ist in der Aufgabe gegeben, dass 5 männliche Schüler nicht die Note 2 haben. Da die Klasse 12 männliche Schüler hat, haben 12 – 5 = 7 eine Note 2. Da ebenfalls angegeben sind, dass 19 Schüler (männlich + weiblich) die Note 2 haben, kann man nun die Zahl der weiblichen Schüler berechnen: 19 -7 = 12. Da man nun weiß, dass 12 Schülerinnen die Note 2 haben und die Klasse insgesamt 18 Schülerinnen hat, kann man die Zahl der Schülerinnen bestimmen, die keine Note 2 hat, nämlich 18 – 12 = 6. Dies kann man nun in die Tafel einzeichnen.

• Abschließend kann man noch die fehlenden Werte bestimmen, indem man die einzelnen Felder addiert, so haben insgesamt 7 + 12 = 19 Schüler (männlich + weiblich) die Note gut und 5 + 6 = 11 Schüler (männlich + weiblich) nicht die Note gut. Somit ist die Vierfeldertafel fertig.

• Die gewählte Aufgabe war relativ leicht, dass Schema lässt sich aber jederzeit auf schwierigere Aufgaben anwenden. Zum Abschluss der Aufgabe kann man sich noch fragen, ob die Ereignisse statistisch unabhängig voneinander sind. Dazu bestimmt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (z.B. P(B)). Anschließend muss noch die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen (z.B. P_A (B)), dass berechnet werden kann aus P (A und B tritt ein) : P(B). Sind beide Werte gleich, so sind die beiden Ereignisse unabhängig voneinander.