Wahrscheinlichkeitsrechnung – Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Das Wort “Stochastik” steht für die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Beide Teilgebiet sind für fast alle MINT-Fächer von erheblicher Bedeutung. Aus diesem Grund soll auf Lernort-MINT.de in dieses Themengebiet eingeführt werden.

Die Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Die Bernouli-Kette und Binominalverteilung beschreibt die Anzahl der Ergebnisse von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben (es liegt also ein Bernoulliexperiment vor).

Man könnte natürlich auch anhand eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit berechnen, was aber meist sehr unübersichtlich zu zeichnen wäre, da die Bernoullikette für eine sehr große Anzahl an Experimenten verwendet wird (z.B. Hätte man 100 Versuche, müsste man 100 Verästlungen zeichen, wobei von jeder Verästlung 2 Äste ausgehen).

Bernoulli-Kette

Ist nichts anderes, als eine Nacheinanderausführung von n voneinander unabhängigen Bernoulliexperimenten.

Bernoulli-Formel:
Mit Hilfe der obigen Bernoulli-Formel erhält man für jede mögliche Trefferzahl k einen Wahrscheinlichkeitswert P(X=k).

Beispiel:

Oft wird die Bernoulli-Kette auch in der Qualitätskontrolle eingesetzt. Hierzu ein Beispiel: Bei einer Fertigung nimmt man an, dass 5 Prozent ( p = 0.05 ) der Produkte fehlerhaft gefertigt wird. Zur Qualitätsprüfung werden 10 Produkte ( n = 10) entnommen.

Nun kann man z.B. berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeiten P ist, genau 2 ( k = 2 ) defekte Produkte zu finden.

Die Binomialverteilung beschreibt das wiederholte Ausführen eines Bernoulliexperiments unter den jeweils gleichen Bedingungen. Die Binomialverteilung wird verwendet, wenn nicht die Wahrscheinlichkeit für ein exaktes Auftreten eines Ereignisses von Interesse ist, sondern etwas eine maximal Anzahl an  untersuchten Ergebnissen. So kann aus der Bernoulli-Kette ganz einfach die Binomialverteilung berechnet werden, indem man die gewünschten Wahrscheinlichkeiten für k=0, k=1, k=2, k =3 u.s.w. aufsummiert..

Formel für die Binomialverteilung

Beispiel:
Oft wird die Binomialverteilung auch in der Qualitätskontrolle eingesetzt. Hierzu ein Beispiel: Bei einer Fertigung nimmt man an, dass 5 Prozent ( p = 0.05 ) der Produkte fehlerhaft gefertigt wird. Zur Qualitätsprüfung werden 10 Produkte ( n = 10) entnommen.

Nun kann man z.B. berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeiten P ist,  höchstens 2 ( k = 2 ) defekte Produkte zu finden.

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit P = P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = 0,989

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Wahrscheinlichkeitsrechnung – Bernoulli-Kette und Binomialverteilung – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Bernoulli-Kette? Erkläre den Begriff.

Eine Bernoulli-Kette ist eine Abfolge von n unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Jedes Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse und die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis bleibt über alle Durchführungen konstant.

2. Was ist ein individuelles Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen: ‘Erfolg’ und ‘Misserfolg’. Zum Beispiel: Münzwurf (Kopf oder Zahl), Frage nach dem Geschlecht (männlich oder weiblich), etc.

3. Definieren Sie die Binomialverteilung.

Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge in einer festgelegten Anzahl von unabhängigen Bernoulli-Experimenten beschreibt. Sie zeigt die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses basierend auf der wiederholten Durchführung des Experiments.

4. Wie wird die Binomialverteilung formal definiert?

Die Binomialverteilung wird definiert durch die Anzahl der Versuche (n), die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges (p) und die Formel: B(k; n, p) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), wobei k die Anzahl der Erfolge bezeichnet.

5. Was ist die Verwendung der Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von “Erfolgen” in einer bestimmten Anzahl von “Versuchen” zu berechnen, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch gleich ist.

6. Wie wirkt sich eine Änderung der Erfolgswahrscheinlichkeit auf die Binomialverteilung aus?

Eine Änderung der Erfolgswahrscheinlichkeit verursacht eine Verschiebung und/oder Verformung der Binomialverteilung. Eine höhere Erfolgswahrscheinlichkeit führt zu einer Verschiebung der Verteilung nach rechts, eine niedrigere zu einer Verschiebung nach links.

7. Was bedeutet es, wenn Ereignisse “unabhängig” sind?

Wenn Ereignisse unabhängig sind, bedeutet das, dass das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht beeinflusst.

8. Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A, gegeben, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist.

9. Wie kann die Mehrdimensionale Verteilungsfunktion interpretiert werden?

Die mehrdimensionale Verteilungsfunktion ist eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Verteilungsfunktion auf mehrere Dimensionen. Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass zufällige Variablen gleichzeitig in bestimmten Intervallen liegen.

10. Beschreiben Sie das Experiment von Jakob Bernoulli, das als Grundlage für die Bernoulli-Kette und die Binomialverteilung diente.

Jakob Bernoulli führte ein Experiment mit einer unfairen Münze durch, bei dem er die Anzahl der “Köpfe” (Erfolge) in einer Reihe von Münzwürfen (Experimenten) aufzeichnete. Dieses experimentelle Modell bildete die Grundlage für das Konzept der Bernoulli-Kette und daher auch der Binomialverteilung.