Wahrscheinlichkeitsrechnung – Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Das Wort “Stochastik” steht für die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Beide Teilgebiet sind für fast alle MINT-Fächer von erheblicher Bedeutung. Aus diesem Grund soll auf Lernort-MINT.de in dieses Themengebiet eingeführt werden.

Die Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Die Bernouli-Kette und Binominalverteilung beschreibt die Anzahl der Ergebnisse von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben (es liegt also ein Bernoulliexperiment vor).

Man könnte natürlich auch anhand eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit berechnen, was aber meist sehr unübersichtlich zu zeichnen wäre, da die Bernoullikette für eine sehr große Anzahl an Experimenten verwendet wird (z.B. Hätte man 100 Versuche, müsste man 100 Verästlungen zeichen, wobei von jeder Verästlung 2 Äste ausgehen).

Bernoulli-Kette

Ist nichts anderes, als eine Nacheinanderausführung von n voneinander unabhängigen Bernoulliexperimenten.

Bernoulli-Formel:
Mit Hilfe der obigen Bernoulli-Formel erhält man für jede mögliche Trefferzahl k einen Wahrscheinlichkeitswert P(X=k).

Beispiel:

Oft wird die Bernoulli-Kette auch in der Qualitätskontrolle eingesetzt. Hierzu ein Beispiel: Bei einer Fertigung nimmt man an, dass 5 Prozent ( p = 0.05 ) der Produkte fehlerhaft gefertigt wird. Zur Qualitätsprüfung werden 10 Produkte ( n = 10) entnommen.

Nun kann man z.B. berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeiten P ist, genau 2 ( k = 2 ) defekte Produkte zu finden.

Die Binomialverteilung beschreibt das wiederholte Ausführen eines Bernoulliexperiments unter den jeweils gleichen Bedingungen. Die Binomialverteilung wird verwendet, wenn nicht die Wahrscheinlichkeit für ein exaktes Auftreten eines Ereignisses von Interesse ist, sondern etwas eine maximal Anzahl an  untersuchten Ergebnissen. So kann aus der Bernoulli-Kette ganz einfach die Binomialverteilung berechnet werden, indem man die gewünschten Wahrscheinlichkeiten für k=0, k=1, k=2, k =3 u.s.w. aufsummiert..

Formel für die Binomialverteilung

Beispiel:
Oft wird die Binomialverteilung auch in der Qualitätskontrolle eingesetzt. Hierzu ein Beispiel: Bei einer Fertigung nimmt man an, dass 5 Prozent ( p = 0.05 ) der Produkte fehlerhaft gefertigt wird. Zur Qualitätsprüfung werden 10 Produkte ( n = 10) entnommen.

Nun kann man z.B. berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeiten P ist,  höchstens 2 ( k = 2 ) defekte Produkte zu finden.

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit P = P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = 0,989