Es gibt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zwei Experimenttypen, die einem immer wieder begegnen. Das sind einerseits Laplace-Experimente (alle Ereignisse sind gleich wahrscheinlich) und auf der anderen Seite Bernoulli- Experimente (genau zwei Elemente in der Ergebnismenge).
In diesem Kapitel befassen wir uns nun, welche Bedeutung die Reihenfolge der Elemente für die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses hat. In den bisherigen Kapiteln Permutationen und Variationen haben wir uns mit der Anzahl an Möglichkeiten beschäftigt, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.
Nun befassen wir uns mit der “Kombination”. Bei einer Kombination wird aus einer Menge von n Elementen eine Auswahl an k Elementen berücksichtigt, wobei die Reihenfolge der Elemente nicht berücksichtigt wird.
Kombinationen treten auf, wenn wir aus einer bestimmten Menge mit n Elementen eine Anzahl an k Elementen (k ≤ n) entnehmen und diese ohne Beachtung der Reihenfolge auslegen. Bei Kombinationen gibt es zwei Möglichkeiten, zum einen ist es möglich, dass kein Element mehrfach vorkommen darf, zum anderen sind auch Kombinationen möglich, bei denen ein Element mehrfach vorkommen darf. Dies muss bei der Verwendung der richtigen Formel zur Berechnung der Kombination berücksichtigt werden (meist ergibt sich dies aus der Aufgabenstellung).
Zur Wiederholung: In einem anderen Kapitel haben wir uns mit der Variation befasst, im Unterschied zur Kombination wird die Reihenfolge aller Elemente berücksichtigt (n-Elemente und k-Auswahlen jeweils bei der Kombination und der Variation)
Gemäß der Definition werden bei einer Kombination ohne Wiederholung k Elemente aus n Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt. Voraussetzung, dass keine Wiederholung auftritt ist, dass keine Elemente mehrfach ausgewählt werden können.
Bevor wir die Formel zur Berechnung der Kombination herleiten, nochmals die Formel zur Berechnung der Variation::
Bei der Variation gibt es beim ersten Ziehen n Möglichkeiten (aus n Elementen), da noch kein Element verwendet wurden. Nach dem ersten Ziehen, bleiben noch (n-1) Elemente übrig, die für das zweite Ziehen verwendet werden können. Also haben wir beim zweiten Zug der Anordnung noch (n – 1), beim dritten Ziehen sind es noch (n – 2) Möglichkeiten und beim k-ten Zug sind es noch (n – k + 1) Möglichkeiten. Damit erhalten wir (Anordnungen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Elemente) folgende Möglichkeiten der Anordnung der Ereignisse:
Möglichkeiten = n · (n -1) · (n – 2) · (n – 3) · … · (n – k + 1) = n! : (n – k)!
Der Unterschied zwischen Variation und Kombination ist, dass keine Reihenfolge bei der Kombination möglich ist. Daher hat man bei der Kombination auch weniger Möglichkeiten, als bei der Variation. Dies muss in der obigen Formel berücksichtigt werden. Daher muss die Gesamtzahl der Möglichkeiten durch die Anzahl der möglichen Anordnungen der Elemente (die gezogen werden) dividiert werden. Die Anzahl ist k1· k2· k3 … = k!
Damit erhalten wir (Anordnungen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Elemente) folgende Möglichkeiten der Anordnung der Elemente (Kombinationen ohne Wiederholung):
Möglichkeiten = [n · (n -1) · (n – 2) · (n – 3) · … · (n – k + 1)] : k! = n! : [(n – k)! · k!]
Bei einer Kombination mit Wiederholung werden k aus n Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei Objekte auch mehrfach ausgewählt werden können. Dies muss in der Formel berücksichtigt werden:
Damit erhalten wir (Anordnungen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung der Elemente) folgende Möglichkeiten der Anordnung der Elemente (Kombinationen mit Wiederholung):
Die Kombinatorik befasst sich mit der Anzahl von Anordnung von einer bestimmten Anzahl an Elementen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Sind die Elemente unterscheidbar (und kommen diese nur einzeln vor) so spricht man von “ohne Wiederholung”. Sind die Elemente hingegen nicht unterscheidbar, so spricht man von “mit Wiederholung”, da jedes Element, dass bereits verwendet wurde, wieder verwendet werden kann.
Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Methoden zur Zählung, Berechnung und Ordnung von Kombinationen und Permutationen von Objekten liefert.
Permutationen berücksichtigen die Reihenfolge, in der Objekte angeordnet sind, während Kombinationen die Reihenfolge ignorieren.
Die verschiedenen Arten, wie man die Ziffern 1, 2 und 3 in einer Dreistelligen Nummer anordnen kann, sind Beispiele für Permutationen.
Die verschiedenen Arten, wie man eine Gruppe von zwei Personen aus einer Gruppe von fünf auswählen kann, unabhängig von der Reihenfolge, sind Beispiele für Kombinationen.
Die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung wird durch die Fakultät der Anzahl der Elemente berechnet.
Die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung wird berechnet, indem die Fakultät der gesamten Anzahl der Elemente durch das Produkt der Fakultät der Anzahl der ausgewählten Elemente und der Fakultät der Differenz zwischen der gesamten Anzahl der Elemente und der Anzahl der ausgewählten Elemente berechnet wird.
Das Prinzip der Inklusion und Exklusion ist eine Methode zur Bestimmung der Anzahl von Elementen in Vereinigungen von Mengen, indem die Größen der Mengen addiert und dann die Größen der Schnittmengen subtrahiert werden.
Das Urnenmodell ist eine häufig verwendete Methode zur Illustration der Grundlagen der Kombinatorik, bei der Objekte aus einer Urne nach bestimmten Regeln und unter Berücksichtigung oder Nichtberücksichtigung der Reihenfolge gezogen werden.
Geordnete Kombinationen sind Permutationen, bei denen die Reihenfolge der ausgewählten Elemente wichtig ist, während bei ungeordneten Kombinationen die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird.
Das Binomialtheorem ist ein mathematisches Konzept, das die Expansion von binomischen Ausdrücken in Potenzen erklärt. Es ist eng mit der Kombinatorik verwandt, da die Koeffizienten in der binomialen Expansion die Anzahl der bestimmten Kombinationen darstellen.