Matrix und Matrizen in der Mathematik – Grundlagen

Im Kapitel “Gleichungssysteme” fiel bereits der Begriff “Matrix”. Eine Matrix (bzw. Plural “Matrizen”). Wie dort erläutert, werden Matrizen verwendet, um “vereinfacht” lineare Gleichungssysteme darzustellen bzw. zu beschreiben. Gemäß der mathematischen Definition versteht man unter einer Matrix eine quadratische (2,2-Matrix) bzw. eine rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten (z.B. Zahlen), wobei jede Matrix aus m Zeilen und n Spalten aufgebaut wird. Daher wird jede Matrix mit (m,n)-Matrix genauer gekennzeichnet.

Matrix bzw. Matrizen in der Mathematik – Grundlagen

Jede (m,n)-Matrix ist durch Zeilen und Spalten gekennzeichnet. Dabei hat jede Matrix m-Zeilen. Die Zahl “m” steht dabei für die Anzahl der Zahlen bzw. Variablen, die in einer Matrix untereinander stehen. Manchmal werden die Zeilen einer Matrix auch als sogenannte Zeilenvektoren bezeichnet (oft hilft das um spezielle Lösungen eines Gleichungssystems zu bestimmen). Neben den m-Zeilen wird die Matrix noch durch n-Spalten aufgebaut. Die Zahl “n” steht dabei für die Anzahl der Zahlen bzw. Variablen, die in einer Matrix nebeneinander stehen. Manchmal werden die Spalten einer Matrix auch als sogenannte Spaltenvektoren bezeichnet (Aufbau einer Matrix: siehe nachfolgende Abbildung)

Aufbau einer Matrix

Aufbau einer Matrix

Jede Matrix einhält in den Zeilen und Spalten zugeordnet die sogenannten Elemente einer Matrix (manchmal auch als Objekte einer Matrix bezeichnet). Jedes Elementwird durch einen Index mn gekennzeichnet. Der erste Index ist der Zeilenindex m und gibt die Position in der Zeile an (also die Position non links nach rechts in der Horizontalen). Der zweite Index ist der Spaltenindex n (also die Position von oben nach unten in der Vertikalen).

Beispiel:  das Element a12 steht für das Element in der 1. Zeile und der 2. Spalte.

Spezielle Matrizen

Auch wenn Matrizen erst in der Oberstufe genauer untersucht und beschrieben werden, so sollten spezielle Matrizen bekannt sein:

  • Nullmatrix: Matrix, die ausschließlich Nullen als Elemente in den Zeilen und Spalten enthält (=> alle Elemente sind gleich Null)
  • Spaltenmatrix: Matrix, die nur aus einer Spalte besteht
  • Zeilenmatrix: Matrix, die nur aus einer Zeile besteht
  • Einheitsmatrix: Alle Elemente der Hauptdiagonalen haben den Wert “1” und alle anderen Elemente den Wert “Null”

Rang einer Matrix

Der sogenannte Rang einer Matrix hat vor allem in der Oberstufe eine Bedeutung, so lassen sich mit Hilfe des Ranges einer Matrix die Lösungsmöglichkeiten (keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen) eines linearen Gleichungssystems vorhersagen. Dazu wird die Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform überführt (durch Zeilenumformungen). Der Rang einer Matrix entspricht nun der Anzahl der Zeilen, die nicht nur Null in der kompletten Zeile enthalten (also keine Nullzeilen sind). Daher kann der Rang einer Matrix niemals größer sein als die Zahl der Zeilen (oder Spalten) der Matrix.

Autor: