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Die harmonische Schwingung

Allgemeines:
So kann man drei Grundtypen von Bewegungsarten, wenn man nur den Körper selbst betrachtet, unterscheiden: Translation (geradlinige Bewegung durch einen Raum), Rotation (Drehbewegung) und Oszillation (Schwingung).

Translation:
Eine Translation ist eine Bewegung eines Körpers, bei der sich alle (Masse)punkte des bewegten Körpers in dieselbe Richtung bewegen (parallel zueinander). Ein Körper besitzt in einem Raum drei Freiheitsgrade der Translation (x-,y- und z-Richtung).

Rotation:
Eine Rotation eines Körpers ist definiert als die Bewegung eines Punktes oder Körpers um eine Rotationsachse.

Oszillation bzw. Schwingung:
Unter Oszillation versteht man generell Schwingungsbewegungen eines Körpers, meist bedeutet es eine Bewegung um einen Ruhepunkt. Da der Begriff aber in vielen anderen Fächern neben Physik verwendet wird, kann der Begriff neben Schwingungsbewegungen eines Körpers mehr Bedeutungen besitzen.
Man unterscheidet dabei 

  • gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen
  • freie, erzwungene Schwingungen
  • lineare und nichtlineare Schwingungen
  • Schwingungen mit einem oder mehreren Freiheitsgraden


Genauere Betrachtung der Schwingung (in der Mechanik):
Bevor man sich mit der Schwingung in der Mechanik befasst, sollte man einmal Schwingung allgemein definieren (zumindest für das Fach Physik). Unter Schwingung versteht man in der Physik eine zeitlich periodische Änderung einer physikalischen Größe oder eines physikalischen Zustandes (diese Definition enthält auch z.B. eine periodische Änderung der Spannung bei Wechselstrom)

In der Mechanik wird der Begriff "Schwingung" noch erweitert, so sind Schwingungen periodische Vorgänge, bei denen sich ein Körper zeitlich periodisch um eine Ruhelage (Gleichgewichtslage, Nulllage) bewegen, wobei sich hier ebenfalls verschiedene physikalische Größen periodisch ändern (wie bei der allgemeinen Definitionen in Physik) .
 

Unterschied zwischen gedämpfter und ungedämpfter harmonischer Schwingung:
Für beide Schwingungsarten (gedämpft und ungedämpft) gilt: Definitionsgemäß heißt eine Schwingung harmonisch, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist. 
Eine ungedämpfte Schwingung erkennt man (als erstes daran), dass die Zeitabhängigkeit des physikalischen Zustandes sinus- bzw. cosinusförmig ist (d.h. der Graph im Weg-Zeit-Diagramm ist sinusförmig, die Amplituden = max. Auslenkung der Schwingung ist immer gleich groß), bei der gedämpfte Schwingung ist das Weg-Zeit-Diagramm nicht sinusförmig. 
In der Mechanik liegt fast immer eine gedämpfte Schwingung vor, da stets Reibung auftritt und durch Reibung ein Teil der mechanischen Energie in thermische Energie umgewandelt und so die volle Schwingung aufgrund des Verlusts an mechanischer Energie nicht mehr ausgeführt werden kann. Will man aber doch eine ungedämpfte Schwingung haben, so muss die (mechanische) Energie periodisch wieder zugeführt werden, die durch die Reibung von mechanischer in thermische Energie umgewandelt und so "verloren" wurde.
 

Wie kann man sich die harmonische Schwingung herleiten?
Im Bereich der Mechanik verwendet man immer gerne die Newton´schen Gesetze. Da in der Definition die Wörter "Körper" (also etwas mit Masse m) und "Rückstellkraft" (also etwas mit Kraft) auftauchen verwendet man das Newton´sche Gesetz, dass Kraft und Beschleunigung über die Masse in Relation setzt (F = m·a). Weiterhin ist bekannt, dass Beschleunigung  a die zweite Ableitung des Weges s bzw x (nach der Zeit t) ist (a = x´´). Fügt man diese beiden "Gesetze" zusammen, erhält man: F = m·x´´. 

Der nächste Schritt ist etwas schwieriger, und benötigt einiges an Vorwissen (Newton´sche Gesetze, Lösung von Differentialgleichungen .. u.s.w)
Wir in der obigen Formel gesehen, sucht man jetzt eine (Differential)gleichung, bei der die zweite Ableitung (m·a =m·x´´)mit der Ausgangsfunkion übereinstimmt (ohne Berücksichtigung eines Vorzeichens). Zusätzlich gilt, dass zum Zeitpunkt t0 = 0 die Auslenkung maximal ist (sonst würde z.B. ein Pendel auch nicht funktionieren, die max. Auslenkung wird als Amplitude bezeichnet und mit A abgekürzt). Als Ergebnis erhält man die Funktion A·sin(w ·t). Um nun die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung zu berechnen, muss man nun einfach einmal (für die Geschwindigkeit) und zweimal (für die Beschleunigung) ableiten. 

Bisher ist nur der ungedämpfte Zustand hergeleitet worden, nun soll der gedämpfte Zustand hergeleitet werden. Dies ist aber relativ einfach, da die meisten gedämpften Schwingungen man mit Hilfe eines Abklingkoeffizienten aus der ungedämpften Schwingung herleiten kann. Der Abklingkoeffizient gibt dabei an, wie stark die Schwingung gedämpft wird. Der Abklingkoeffizient k ist abhängig von der Zeit t (mit der Zeit wird die Schwingung immer stärker gedämpft) uns sorgt dafür, dass der Wert der Amplitude immer kleiner wird. Damit der fehlende Ausdruck hergeleitet werden kann, würde hier auch viel math. Wissen benötigt, daher sei er hier als gegeben angenommen: A·e-kt.
 

Formeln bei der gedämpften, harmonischen Schwingung:

Bestimmung des Abklingkoeffizienten:
Der Abklingkoeffizient lässt sich experimentell sehr einfach ermitteln, dazu benötigt man nur die max. Amplitude (A0) , die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegt und die Amplitude (At) zu einem beliebigen Zeitpunkt t (Wert der Ampitude und Zeitpunkt müssen bekannt sein).

Der Abklingkoeffizient k berechnet sich nun aus:    k =  [- ln (A t : A 0 )] : t  

Hat man keine Amplitude A zum Zeitpunkt t = 0 (manchmal schlecht zu messen), kann man auch jede beliebige Amplitude verwenden. Dazu benötigt man wieder zwei Wertepaar A1, t1 und A2, t2 wobei gilt t2 > t1 .

Der Abklingkoeffizient k berechnet sich nun aus:   k = [- ln (A1  : A2 )] : (t1   - t2 )
 

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