Bewegung auf einer schiefen Ebene

Im allgemeinen Teil des Gebietes Mechanik werden auf Lernort-Mint die Grundlagen wie Bewegungsformen erklärt. Dabei werden oft Verallgemeinerungen und Vereinfachungen verwendet. Nun sollen die Grundlagen erweitert werden. Ein Beispiel hierfür ist die Bewegung auf einer schiefen Ebene.
Im Prinzip ist eine schiefe Ebene überall zu finden, bestes Beispiel sind Strassen, auf denen sich Fahrzeuge bewegen.

Die schiefe Ebene

Eine schiefe Ebene (auch als schräge oder geneigte Ebene bezeichnet) ist eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale um einen bestimmten Winkel geneigt ist. Die Berechnung von Bewegungen auf schiefen Ebenen ist deswegen etwas komplizierter, da mehrere Kräfte wirken, die berücksichtigt werden müssen.

• Die Kraft F_G (Gewichtskraft des  Körpers):  Diese Kraft wird aus Masse (des Körpers) mal Erdbeschleunigung berechnet.
• Die Kraft F_H (Hangabtriebskraft): Diese Kraft entspricht der Kraft, welche den Körper die schiefe Ebene nach unten rutschen lässt, d.h die Hangabtriebskraft ist nichts anderes als ein Teil der Gewichtskraft F_G , die auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtet ist.
• Die Kraft F_N (Normalkraft, senkrecht zur schiefen Ebene): Diese Kraft entspricht der Kraft, welche den Körper auf die schiefe Ebene drückt.

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Berechnung der Kräfte auf der schiefen Ebene

Damit man die einzelnen Kräfte bestimmen kann, zerlegt man die Gewichtskraft F_G (mit Hilfe eines Kräfteparallelogramms) in zwei Komponenten (Hangabtriebskraft und Normalkraft), dass eine Kraft senkrecht (= Normalkraft) zur Ebene und die andere Kraft parallel zur Ebene (= Hangabtriebskraft) ist. Die Herleitung könnte man sehr ausführlich machen, aber dann würde diese Seite zu lange werden, daher nur in aller Kürze (Für besonders Interessierte: sin(a ) = h (Höhe der schiefen Ebene) : l (Länge der schiefen Ebene), dieser Winkel wird auch als Anstellwinkel bezeichnet, der jede schiefe Ebene charakterisiert).

Gewichtskraft F_G = m·g

Hangabtriebskraft F_H = m·g·sin(a)

Normalkraft F_N = m·g.·cos(a)

mit

• m = Masse des Körpers
• g = Erdbeschleunigung (9,8 m/s²)
• a (Alpha) = Winkel zwischen der Horizontalen und der schiefen Ebene

Was hat man nun “gewonnen”

Eine ganze Menge, denn wie oben bereits erwähnt ist die Bewegung auf einer schiefen Ebene ein oft auftauchendes Problem in der Mechanik, große Bedeutung hat dabei die Hangabtriebskraft:

• Die Hangabtriebskraft ist die Kraft, die aufgebracht werden muss, wenn ein Körper über eine schiefe Ebene nach oben befördern werden soll.
• Bewegt sich ein Körper eine schiefe Ebene hinab, so ist die Hangabtriebskraft die beschleunigende Kraft.
• Wie aus den Formeln ersichtlich, hängt die Hangabtriebskraft von der Schräge der schiefen Ebene ab und ist umso größer, je steiler die schiefe Ebene ist.
• Hat man die Hangabtriebskraft berechnet, kann man andere Größen damit berechnen, z.B. die Beschleunigung: a= F_H /m oder die Geschwindigkeit berechnen.

Beispiel

Eine 1000kg schweres Auto rollt eine schiefe Ebene (mit einem Winkel von 20° gegenüber der Horizontalen) runter. Gesucht ist nun die Beschleunigung a,  mit der das Auto die schiefe Ebene herunterrollt (Reibung wird in diesem Beispiel vernachlässigt).

Lösung:

• Zuerst wird die Hangabtriebskraft berechnet: F_H = m·g·sin(a) = 1000 kg · 9,81m/s² ·sin(20°) = 3355 kg·m/s² = 3355 N
• Mit Hilfe der Hangabtriebskraft kann nun die Beschleunigung berechnet werden (mit Hilfe des 1. Newton´schen Gesetzes F=m·a). a = F : m = 3355 kg·m/s² : 1000 kg = 3,36 m/s²

Will man nun beispielsweise die Strecke bestimmen, die in einem bestimmten Zeitintervall berücksichtig worden ist, rechnet man mit folgender Formel weiter:

s(Strecke) = 0,5·a·t²(Zeit)

Mit dieser Formel kann natürlich auch ein Zeitraum bestimmt werden, den man für eine bestimmte Strecke benötigt. Ebenfalls kann man die (End)geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit bestimmen mit: v = a·t

Ohne Vernachlässigung der Reibung

Eine 1000kg schweres Auto rollt eine schiefe Ebene (mit einem Winkel von 20° gegenüber der Horizontalen) runter. Gesucht ist nun die Beschleunigung a,  mit der das Auto die schiefe Ebene herunterrollt (in diesem Beispiel soll eine Gleitreibung von m = 0,01 berücksichtigt werden).

Lösung

• Die Reibungskraft und die Hangabtriebskraft wirken entgegengesetzt, d.h. für die resultierende Kraft muss die Reibungskraft von der Hangabtriebskraft abgezogen werden. F = F_H – F_R .
• Die Reibungskraft hängt von der Normalkraft F_N ab. Deswegen muss erstmal die Normalkraft berechnet werden. F_N = m·g.·cos(a ) = 9218 N. Für die Reibungskraft gilt F_R = m · F_N = 92 N.
• Die Hangabtriebskraft ist in obiger Aufgabe bereits bestimmt worden mit 3355 N, somit ist die resultierende Kraft 3355N – 92 N = 3263 N bzw. 3,3 kN

weiterführende Informationen auf Lernort-Mint.de

• 1. Newton´sches Gesetz

• Geradlinig, beschleunige Bewegung

Bewegung auf einer schiefen Ebene – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist unter dem Begriff “Bewegung auf einer schiefen Ebene” zu verstehen?

Unter einer “Bewegung auf einer schiefen Ebene” versteht man den physikalischen Vorgang, bei dem ein Körper unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer schrägen Oberfläche nach unten bewegt wird.

2. Welche physikalischen Kräfte wirken auf einen Körper, der auf einer schiefen Ebene bewegt wird?

Drei primäre Kräfte wirken auf einen Körper auf einer schiefen Ebene. Diese sind die Schwerkraft, die Normalkraft und die Reibungskraft.

3. Wie wirkt sich die Reibung auf die Bewegung eines Körpers auf einer schiefen Ebene aus?

Die Reibung wirkt entgegen der Richtung der Bewegung und verlangsamt somit den Körper auf der schiefen Ebene.

4. Wie kann man die Beschleunigung eines Körpers auf einer schiefen Ebene berechnen?

Die Beschleunigung eines Körpers auf einer schiefen Ebene kann durch die Steigung der Ebene und die Schwerkraft berechnet werden. Die Formel lautet: a = g * sin(θ) – Friction Coefficient * g * cos(θ).

5. Was passiert mit einem Körper auf einer schiefen Ebene ohne Reibung?

Ein Körper auf einer schiefen Ebene ohne Reibung würde unendlich weiter rutschen, da nichts seine Bewegung abbremst.

6. Wie wirkt sich die Neigung der Ebene auf die Bewegung des Körpers aus?

Je steiler die Neigung der Ebene, desto schneller bewegt sich der Körper, da die Schwerkraft den Körper stärker zieht.

7. In welchen Berufen ist das Verständnis der Bewegung auf einer schiefen Ebene besonders wichtig?

Das Verständnis der Bewegung auf einer schiefen Ebene ist in vielen technischen Berufen von Vorteil, insbesondere in der Bauingenieurwissenschaft, der Physik und dem Maschinenbau.

8. Was ist die Normalkraft in Bezug auf die Bewegung auf einer schiefen Ebene?

Die Normalkraft ist die Kraft, die senkrecht zur Oberfläche einer schiefen Ebene wirkt und den Körper von der Ebene wegdrückt.

9. Wie wirkt sich die Masse eines Körpers auf seine Bewegung auf einer schiefen Ebene aus?

Je höher die Masse eines Körpers, desto höher ist seine Potentialenergie, was zu einer schnelleren Bewegung auf der Ebene führen kann.

10. In welchem Zusammenhang steht die Arbeit mit der Bewegung auf einer schiefen Ebene?

Die Arbeit, die für die Bewegung eines Körpers auf einer schiefen Ebene benötigt wird, kann durch die Integration der Kraft über die Länge der schiefen Ebene berechnet werden.