Menge (Gruppierung mathematischer Objekte)

Jedes naturwissenschaftliche Fach hat seine “eigene” Sprachweise, beispielsweise die Elementsymbole in der Chemie. In der Mathematik gibt es auch eine Vielzahl von Schreibweisen, beispielsweise eine Gruppierung von Werten oder Variablen. Diese Gruppierung wird in der Mathematik als Menge bezeichnet. Gemäß der mathematischen Definition ist Menge eine Zusammenfassung von mathematischen Objekten (also Zahlen, Buchstaben). Die zusammengefassten Objekte gehören zur Menge und werden als Elemente der Menge bezeichnet

Die Menge – eine Zusammenfassung von mathematischen Objekten

Wie eingangs erwähnt, ist eine Menge ein mathematisches Objekt, dass selbst eine Zusammenfassung von mathematischen Objekten. Im ersten Augenblick erscheint die Gruppierung von Werten, Variablen zu einer Menge als “banal”. Eine genau Beschreibung einer “Menge” ist aber für viele (physikalische) Vorgänge entscheidend. Wäre eine Menge nicht eindeutig definiert, wäre ein Prozessor eines Computers nie in der Lage, Daten zu verarbeiten, Gruppen zu vergleichen o.ä.

Beginnen wir einfach: Ist ein Objekt (nehmen wir z.B. die Zahl 5) Teil der Menge M, so beschreibt man diese “Sachverhalt” mathematisch eindeutig: 5∈ M (=> 5 ist ein Element von M). Ist die Zahl 5 kein Teil der Menge M, so streicht man das “∈” schräg durch, was bedeutet “ist keine Teilmenge” von. Mit Hilfe dieser beiden Ausdrücke können wir jedes mathematische Objekt eindeutig einer Menge zuordnen oder zeigen, dass das Objekt nicht Teil der Menge ist.

Natürlich wollen wir auch Mengen miteinander vergleichen (z.B. Messwertergebnisse von Versuchen). Auch eine Menge kann wieder eine Teilmenge einer anderen Menge sein. Dabei wird z.B. eine Menge M als eine Teilmenge einer Menge N bezeichnet, wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist (dies wird mathematisch so ausgedrückt: M ⊆ N bzw. N ⊇ M, “ist Teilmenge von”). Oft wird in der Mathematik aber vereinfacht: Gilt A ⊆ B und B ⊆ A, so sind die Mengen beide gleich und man kann auch A = B schreiben.

Sind nicht alle Elemente der Menge M und Menge N gleich, so gibt es die sogenannte “Schnittmenge” und die “Vereinigungsmenge”.

• Schnittmenge der Menge M und Menge N:  Die Schnittmenge (der Menge M und N) sind alle Elemente, die Elemente von M und von N sind. Mathematisch geschrieben als: M ∩ N

• Vereinigungsmenge der Menge M und Menge M: Die Vereinigungsmenge (der Menge M und N) sind die Elemente, die Elemente von M oder von N sind. Mathematisch geschrieben als M ∪ N

Alle Elemente von Mengen werden durch eine geschweifte Klammer zusammengefasst: M = {a, b, c} (dies wird als aufzählende Darstellung bezeichnet, in höheren Klassen wird oft eine beschreibende Darstellung gewählt,z.B: A:={a| a ∈ R))

Beispiel

M = {1, 2, 3} und N = {1, 2, 3, 4]

• M ist eine Teilmenge von N: M ⊆ N
• M ∩ N ={1, 2, 3}

Menge (Gruppierung mathematischer Objekte) – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Menge im mathematischen Sinne?

Eine Menge ist eine Sammlung von eindeutig bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens.

2. Wie werden Elemente in einer Menge dargestellt?

Elemente in einer Menge werden durch Klammern dargestellt und die einzelnen Elemente werden durch Kommas getrennt.

3. Was bedeutet der Begriff “Teilmenge”?

Eine Teilmenge ist eine Menge, deren alle Elemente auch in einer anderen Menge enthalten sind.

4. Was ist die leere Menge?

Die leere Menge ist eine Menge, die keine Elemente enthält.

5. Wie wird eine unendliche Menge definiert?

Eine unendliche Menge ist eine Menge, die eine unendliche Anzahl von Elementen enthält.

6. Was ist der Unterschied zwischen einer Menge und einer Menge aller Teilmengen?

Die Menge aller Teilmengen, auch als Potenzmenge bezeichnet, ist die Menge aller möglichen Teilmengen einer gegebenen Menge. Eine Menge hingegen ist eine Sammlung von bestimmten und unterscheidbaren Elementen.

7. Wie werden die Mengenoperationen bezeichnet?

Die Hauptoperationen der Mengenlehre sind: Vereinigung (Union), Schnittmengenbildung (Schnitt), Differenzbildung und symmetrische Differenz.

8. Was ist das Ergebnis der Vereinigung zweier Mengen?

Das Ergebnis der Vereinigung zweier Mengen ist eine Menge, die alle Elemente der beiden Mengen enthält, ohne Duplikate.

9. Was ist das Ergebnis der Schnittmengenbildung zweier Mengen?

Das Ergebnis der Schnittmengenbildung zweier Mengen ist eine Menge, die nur die Elemente enthält, die in beiden Mengen vorhanden sind.

10. Wie wird die Menge aller Elemente, die zu mindestens einer der beiden Mengen gehören, bezeichnet?

Die Menge aller Elemente, die zu mindestens einer der beiden Mengen gehören, wird als ihre Vereinigung bezeichnet.