Primzahlen – besondere Zahlen in der Mathematik

Gemäß der mathematischen Definition ist eine Primzahl eine natürliche Zahl nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist (die Zahlen 0 und 1 gelten nicht als Primzahlen). Primzahlen sind nicht nur eine “theoretische Spielerei”, sondern dienen auch wichtigen Anwendung, der Primfaktorzerlegung: Bei der Primfaktorzerlegung wird eine Zahl in ein Produkt aus Primzahlen zerlegt. Aus der Primfaktorzerlegung lässt sich das “kleinste gemeinsame Vielfache” (kgV) und der “größte gemeinsame Teiler” (ggT) ableiten. Diese “Größen” bilden die Grundlagen für viele Rechenoperationen in allen naturwissenschaftlichen Fächern.

Primzahlen – besondere Zahlen

Wie eingangs erwähnt, ist eine Primzahl eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist und deren “Division” eine ganze Zahl ergibt (keine Dezimalzahl). Aus dieser Definition können wir die Anforderungen an eine Primzahl ableiten

• Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, also immer eine ganze Zahl (keine Dezimalzahl oder Bruch)
•  Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist (d.h. eine Primzahl hat zwei Teiler), daher ist die Zahl 1 keine Primzahl, da sie nur durch eine Zahl (nämlich “1”) teilbar ist.
• Die Zahl 0 ist ebenfalls keine Primzahl, 0 ist zwar durch 1 teilbar, aber nicht durch sich selbst, 0 : 0 ist nicht definiert.

Wie kann man nun überprüfen, ob man eine Primzahl vorliegen hat?

Es gibt unzählige Verfahren zu Prüfung, ob eine Primzahl vorliegt, allerdings gibt es kein “absolutes Lösungsverfahren”. Das einfachste, aber zeitaufwendigste Verfahren ist die Zahl (der Reihe nach) durch die Primzahlen zu teilen. Ist die Zahl durch eine Primzahl teilbar, so ist diese Zahl keine Primzahl.

In Zeiten moderner Rechner verwendet man in der Regel Rechenprogramme, um zu überprüfen, ob es sich bei einer bestimmten Zahl um eine Primzahl handelt. Allerdings empfiehlt es sich die Primzahlen von 1 bis 100 zu kennen. Bei den nachfolgenden Zahlen handelt es sich um die Primzahlen zwischen 1 und 100.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,  97

Handelt es sich bei einer Zahl um eine Primzahl, so wird die Zahl auch als “prim” bezeichnet.

Anwendung von Primzahlen

• Primfaktorzerlegung: Zerlegung einer Zahl in ein Produkt aus Primzahlen
• Größte gemeinsame Teiler (ggT)
• Kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

Primzahlen – besondere Zahlen in der Mathematik – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine positive natürliche Zahl, die größer als 1 ist und nur zwei Teiler hat: die Zahl 1 und die Zahl selbst.

2. Ist die Zahl 1 eine Primzahl?

Nein, die Zahl 1 ist keine Primzahl.

3. Welche sind die ersten fünf Primzahlen?

Die ersten fünf Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7 und 11.

4. Ist die Zahl 0 eine Primzahl?

Nein, die Zahl 0 ist keine Primzahl.

5. Wie kann man feststellen, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur zwei verschiedene natürliche Teiler hat: die Zahl 1 und die Zahl selbst.

6. Sind alle ungeraden Zahlen Primzahlen?

Nein, nicht alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen. Beispiel: 9 ist eine ungerade Zahl, aber keine Primzahl, da sie durch 3 teilbar ist.

7. Ist die Zahl 2 eine Primzahl?

Ja, die Zahl 2 ist eine Primzahl. Sie ist die einzige gerade Primzahl.

8. Gibt es eine größte Primzahl?

Nein, es gibt keine größte Primzahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen.

9. Was ist eine Primzahlzerlegung?

Die Primzahlzerlegung einer natürlichen Zahl n ist die Umwandlung dieser Zahl in ein Produkt von Primzahlen.

10. Wie heisst das Theorem, das besagt, dass jede natürliche Zahl größer 1 als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann?

Das Theorem, das besagt, dass jede natürliche Zahl größer 1 als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, heisst Fundamentalsatz der Arithmetik.