Mittelwert, Streuung und Verteilung

Auch in natur- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgängen ist es grundsätzlich nicht möglich, fehlerfrei zu messen. Die Abweichungen der Messwerte von den wahren Werten wirken sich auf ein Messergebnis aus, so dass dieses ebenfalls von seinem wahren Wert abweicht und einiges über den Messvorgang ausgesagt werden kann, beispielsweise ob systematische (z.B. fehlerhaftes Messgerät) oder zufällige Fehler vorliegen. Im folgenden werden einige Möglichkeiten zur Fehlerangabe beschrieben:

Betrachtung des Mittelwertes

Die einfachste Art mit unterschiedlichen Einzelergebnissen fertig zu werden, ist, ihren Mittelwert, also z.B. den Mittelwert der Eigenschaften von Molekülen, zu betrachten. Der Mittelwert einer Stichprobe x, …, x_i ist definiert als das arithmetische Mittel der Stichprobenwerte. Weiterhin ist i die Anzahl der Stichproben:

oder Beispiel:  Drei Messwerte: x₁ = 1, x₂ = 2 und x₃ = 3. Damit ist der Mittelwert bestimmt zu (1+2+3) : 3 = 2

Dieser Mittelwert allein ist aber häufig nicht brauchbar. Man benötigt also eine weitere Größe, die Streuung der Einzelwerte:

Die Streuung dient als Beurteilung der Treffsicherheit einer Prognose oder der Güte einer Messung (Messung von  Zuverlässigkeit und Fehleranfälligkeit, hohe Streuung bedeutet hohe Anfälligkeit).

Die Abweichungen der (Mess)Werte vieler natur- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom Mittelwert lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung durch die Normal- oder Gauß-Verteilung beschrieben.

Regeln zur Angabe von Ergebnissen

Beim Rechnen mit naturwissenschaftlichen Größen gelten Grundregeln für die Ergebnisse:

• Die Anzahl der Nachkommastellen (besser: der zu zählenden Stellen) bestimmt die Genauigkeit des Ergebnisses, dessen letzte Stelle gerundet wird.
• Erhält man einen Wert aus einer Multiplikation oder Division anderer Werte, so hat der Zahlenwert des Ergebnisses höchstens so viele zählende Stellen, wie der Zahlenwert mit der geringsten Anzahl zählender Stellen, sofern keine Fehlerangabe gemacht wird.