“Vektoren” sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Auch bei Vektoren sind mathematische Operationen möglich, wie z.B. die Addition oder Subtraktion von Vektoren.
Vereinfacht gesagt, entspricht die Vektoraddition der Aneinanderreihung von Vektoren. Vektoradditionen lassen sich grafisch und rechnerisch lösen. Bei der grafischen Lösung der Vektoraddition wird an die Spitze (Ende) des ersten Vektors der Schaft (Anfang) des zweiten Vektors gesetzt.
Die Vektoraddition
Anschließend soll noch kurz das mathematische Verfahren zur Addition von Vektoren erläutert werden. Dabei ist die Addition von Vektoren relativ einfach. Die einzelnen x-Werte und y-Werte (und z-Werte) werden miteinander addiert.
Addition von Vektoren
Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null). Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors gleich der Länge des Vektors.
Berechnung der Länge eines Vektors
Die Vektoraddition ist die mathematische Operation, bei der zwei oder mehr Vektoren kombiniert werden, um einen weiteren Vektor zu erhalten. Sie ist eine der grundlegenden Operationen in der Linearen Algebra und der Vektorrechnung.
Zur Addition von zwei zweidimensionalen Vektoren werden die entsprechenden Komponenten dieser Vektoren addiert. Wenn die Vektoren A = (a1, a2) und B = (b1, b2) sind, dann ist der resultierende Vektor A+B = (a1+b1, a2+b2).
Graphisch wird eine Vektoraddition dargestellt, indem man den Anfang des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors setzt. Der resultierende Vektor ist derjenige, der vom Anfang des ersten Vektors zur Spitze des zweiten Vektors reicht, wenn er in dieser Weise angeordnet ist.
Das Kommutativgesetz der Vektoraddition besagt, dass die Reihenfolge, in der die Vektoren addiert werden, nicht das Ergebnis beeinflusst. Das bedeutet, dass A+B = B+A für alle Vektoren A und B.
Das Assoziativgesetz der Vektoraddition besagt, dass die Art und Weise, wie Vektoradditionen gruppiert werden, das Endergebnis nicht beeinflusst. Das bedeutet, dass (A+B)+C = A+(B+C) für alle Vektoren A, B und C.
Der Nullvektor ist ein spezieller Vektor, dessen alle Komponenten gleich Null sind. In der Vektoraddition ist er das neutrale Element, da die Addition eines Vektors mit dem Nullvektor den ursprünglichen Vektor unverändert lässt.
Die Subtraktion von Vektoren ist eine Operation, die mit der Vektoraddition verbunden ist. Die Subtraktion eines Vektors B von einem Vektor A ist dasselbe wie die Addition des negativen Vektors -B zum Vektor A. Das bedeutet, A-B = A+(-B).
Um mehr als zwei Vektoren zu addieren, fügen wir sie paarweise hinzu. D.h., wir summieren zuerst zwei der Vektoren, und dann addieren wir den nächsten, und so weiter, bis alle Vektoren addiert sind. Dieses Verfahren ist aufgrund des Assoziativgesetzes der Vektoraddition gültig.
Eine lineare Kombination von Vektoren ist eine Summe von Vektoren, bei denen jeder Vektor mit einer Zahl, genannt Skalar, multipliziert wird. Die Skalare können jede reale Zahl sein.
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sowohl eine Richtung als auch eine Größe hat, während ein Skalar nur eine Größe ist. In der Vektoraddition werden Vektoren addiert, nicht Skalare. Gleichzeitig werden Skalare verwendet, um Vektoren in linearen Kombinationen zu skalieren.