“Vektoren” sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Nachfolgend soll das sog. Skalarprodukt näher erläutert werden.
Mathematisch ist das Skalarprodukt das Produkt aus den Beträgen (Berechnung des Betrages bzw. Länge eines Vektors: siehe unten) der beiden Vektoren und dem Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren bzw. nachfolgende Formel.
Verfahren zur Berechnung des Skalarprodukts
Wie bereits erwähnt, dient das Sklarprodukt zur Berechnung des Winkels, den zwei Vektoren miteinander einschließen.
Anwendung des Skalarproduktes
Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt oder Punktprodukt genannt, ist eine Rechenoperation, bei der zwei Vektoren zu einer Zahl, einem Skalar, verrechnet werden. Es ist definiert als das Produkt der Beträge der beiden Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Die Berechnung des Skalarprodukts in der Standardbasis erfolgt durch das Addieren der Produkte der entsprechenden Komponenten der beiden Vektoren.
Geometrisch gesehen ist das Skalarprodukt das Produkt der Längen zweier Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Es ist gleich Null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander sind.
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren u und v in der Standardbasis ist definiert als u•v = u1v1 + u2v2 + u3v3.
Ein positives Skalarprodukt zeigt an, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren weniger als 90 Grad beträgt.
Ein negatives Skalarprodukt zeigt an, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren größer als 90 Grad beträgt.
Ein Skalarprodukt von Null bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen.
Man kann das Skalarprodukt nutzen, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, indem man das Skalarprodukt durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren teilt und anschließend den Arkuskosinus (acos oder cos^-1) nimmt.
Ja, das Skalarprodukt kann negativ sein, wenn der Winkel zwischen den beiden Vektoren größer als 90 Grad ist.
Das Skalarprodukt ist eine Rechenoperation, die zwei Vektoren zu einem Skalar, einer Zahl, verrechnet, während das Kreuzprodukt von zwei Vektoren einen dritten Vektor ergibt, der senkrecht auf den beiden ursprünglichen Vektoren steht.