“Vektoren” sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Ein Vektor wird in der Regel mit einem Buchstaben oder einem anderen Symbol bezeichnet. Damit dieses Symbol erkennbar ist, dass das Symbol einen Vektor bezeichnet, ist es üblich, über dem Symbol einen Pfeil zu schreiben. Die Komponenten eines Vektors, eine x- und y-Komponente (bzw. auch eine z-Komponente) bezeichnen die Ausdehnung des Vektors in x- und in y-Richtung (und in z-Richtung). Diese Komponenten werden im Spaltenvektor übereinander aufgeschrieben, wie ein Bruch, allerdings ohne Bruchstrich, wobei die x-Komponente in der Spalte oben und die y-Komponente unten steht (im zweidimensionalen Vektor). Im dreidimensionalen Spaltenvektor wird die x-Komponente oben geschrieben, die y-Komponente in der Mitte und die z-Komponente unten geschrieben.
Vektoren in der analytischen Geometrie
Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null). Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors gleich der Länge des Vektors.
Länge eines Vektors
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das eine Richtung und eine Größe hat. Es wird häufig verwendet, um Geschwindigkeit und Kraft zu beschreiben.
Ein Vektor wird oft durch einen Pfeil dargestellt, wobei die Länge des Pfeils die Größe des Vektors darstellt und die Richtung des Pfeils die Richtung des Vektors anzeigt.
Ein Skalar hat nur eine Größe, während ein Vektor sowohl eine Größe als auch eine Richtung hat.
Um zwei Vektoren zu addieren, addiert man ihre entsprechenden Komponenten zusammen. Beispielsweise werden die x-Komponenten und die y-Komponenten jeweils zusammengezählt.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Größen und des Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Die Länge eines Vektors wird berechnet, indem man das Quadrat der einzelnen Komponenten des Vektors addiert und dann die Quadratwurzel des Ergebnisses zieht.
Wenn man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert, ändert sich die Größe des Vektors, aber nicht seine Richtung, es sei denn, die Zahl ist negativ, in welchem Fall der Vektor in die entgegengesetzte Richtung zeigt.
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Er behält die Richtung des ursprünglichen Vektors bei, aber seine Größe ist auf 1 genormt.
Vektoren werden in der Physik verwendet, um Größen wie Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung darzustellen, die sowohl eine Richtung als auch eine Größe haben.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, dessen Länge gleich dem Produkt der Größen der beiden Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist. Seine Richtung ist senkrecht zu den beiden ursprünglichen Vektoren.