“Vektoren” sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Auch bei Vektoren sind mathematische Operationen möglich, wie z.B. die Multiplikation von Vektoren mit skalaren Größe
Die Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe ist z.B. “3 · Vektor a”. Dabei ist ein Skalar bzw. skalare Größe eine (mathematische) Größe, die nur die Angabe eines Zahlenwertes charakterisiert ist, d.h. ohne Einheit und Angabe einer Richtung.
Vereinfacht gesagt, es handelt es bei einer skalaren Größe einfach um eine Zahl.
Bei der Lösung dieser mathematischen Operation gibt es wie auch schon bei der Vektoraddition und der Vektorsubtraktion ein mathematisches und ein grafisches Verfahren zur Lösung. Von dem grafischen Verfahren ist eher abzuraten (aufgrund der Dauer des Verfahrens).
Beim grafischen Verfahren wandelt man einfach die Multiplikation eines Vektors in eine Addition um, so ist z.B. “3 · Vektor a = Vektor a + Vektor a + Vektor a”.
Nach dieser Umwandlung entspricht die Multiplikation der Vektoraddition, also der Aneinanderreihung von Vektoren. Vektoradditionen lassen sich grafisch und rechnerisch lösen. Bei der grafischen Lösung der Vektoraddition wird an die Spitze (Ende) des ersten Vektors der Schaft (Anfang) des zweiten Vektors gesetzt u.s.w.
Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe
Anschließend soll noch kurz das mathematische Verfahren zur Multiplikationen von Vektoren mit einer skalaren Größe erläutert werden. Dabei diese Verfahren relativ einfach. Die einzelnen x-Werte und y-Werte (und z-Werte) werden mit der skalaren Größe multipliziert.
Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null). Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors gleich der Länge des Vektors.
Berechnung der Länge eines Vektors
Die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren bezieht sich auf das Verfahren, bei dem jeder Eintrag in einem Vektor mit einer Skalarzahl (ein einzelner Wert) multipliziert wird.
Die Länge oder der Betrag des Vektors wird proportional verändert. Ist der Skalar größer als eins, verlängert sich der Vektor entsprechend; ist der Skalar kleiner als eins, verkürzt sich der Vektor.
Die Richtung des Vektors bleibt unverändert, wenn er mit einem positiven Skalar multipliziert wird.
Der Vektor wird zu einem Nullvektor.
Das Ergebnis ist ein neuer Vektor (3a, 3b).
Nein, die Regel der Skalarmultiplikation ist in 2D- und 3D-Räumen gleich.
Die Richtung des Vektors kehrt um, wenn er mit einem negativen Skalar multipliziert wird.
Algebraisch gesehen multipliziert man einfach jeden Komponenten des Vektors mit dem Skalar.
Die Multiplikation würde einen neuen Vektor geben: (2a, 2b, 2c).
Die allgemeine Skalarmultiplikation sieht folgendermaßen aus: k*v = (kv1, kv2, …, kvn).