“Vektoren” sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Beim mathematischen “Umgang” mit Vektoren gibt es einige nützliche Regeln, die nachfolgend aufgelistet sind.
Rechenregeln bei mathematischen Operationen mit Vektoren
Ein Vektor in der Mathematik ist ein mathematisches Objekt, das sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Vektoren werden oft mit einem Pfeil dargestellt, der von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt zeigt.
Vektoren werden meistens durch einen Pfeil über dem Buchstaben dargestellt, z.B. ⃗a
Der Nullvektor ist ein spezieller Vektor, dessen Richtung undefiniert ist und dessen Länge bzw. Betrag gleich Null ist.
Die Länge oder der Betrag eines Vektors wird durch die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten berechnet. Bei einem 2D-Vektor ⃗a=(x,y) ist die Länge beispielsweise √(x²+y²).
Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert. Das bedeutet, dass man die entsprechenden Komponenten voneinander addiert oder subtrahiert.
Es gibt zwei Arten der Multiplikation von Vektoren – das Skalarprodukt (auch Punkt- oder Dot-Produkt genannt), bei dem das Ergebnis eine Zahl ist, und das Vektorprodukt (auch Kreuz- oder Cross-Produkt genannt), bei dem das Ergebnis ein Vektor ist.
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist das Produkt ihrer Längen multipliziert mit dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. In kartesischen Koordinaten berechnet man es durch Multiplizieren der entsprechenden Komponenten der Vektoren und Aufsummieren dieser Produkte.
Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren ist ein Vektor, dessen Länge gleich dem Produkt der Längen der beiden Vektoren und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist. Seine Richtung ist rechtwinklig zu den beiden gegebenen Vektoren, gemäß der “Rechte-Hand-Regel”.
Die Parallelogrammregel ist eine Regel zur grafischen Addition von zwei Vektoren. Sie besagt, dass wenn zwei Vektoren so verschoben werden, dass sie vom selben Punkt ausgehen, der resultierende Vektor die Diagonale des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist.
Die Dreiecksregel ist eine Regel zur grafischen Addition von zwei Vektoren. Sie besagt, dass wenn zwei Vektoren so vervollständigt werden, dass sie ein Dreieck bilden, der resultierende Vektor die dritte Seite des Dreiecks ist.