Division bei Vektoren

Jeder hat schon einmal von Multiplikationen bei Vektoren gehört. Dabei gibt es zwei bedeutende Verfahren, die Multiplikation von Vektoren miteinander (auch Kreuzprodukt genannt) und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (ein Skalar ist eine Zahl ohne Einheit, z.B. 3), das Produkt daraus nennt man auch Vektorprodukt.

Dabei stellt sich immer wieder eine Frage, gibt es denn auch eine Division bei Vektoren?. Warum es eine Division geben müsste, liegt doch ersichtlich darin, dass man jede Multiplikation in eine Division umformen kann, so gilt z.B. x : 2 = 0,5 · x.

Die Multiplikation von Vektoren miteinander

Die Multiplikation von Vektoren miteinander ergibt das sog. Kreuzprodukt. Ziel des Kreuzproduktes ist es, die (Dreiecks-)fläche zu bestimmen, die die beiden Vektoren miteinander aufspannen. Das Kreuzprodukt ist daher ein wichtiges Werkzeug in der analytischen Geometrie.

Und, nun beginnt es schon etwas komplizierter zu werden, denn im eigentlichen Sinne ist nur die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (also einem Skalaren) eine Multiplikation. Die “Multiplikation” von Vektoren miteinander, die das Kreuzprodukt  und das Skalarprodukt ergeben sind im reinsten  Sinne der Mathematik keine Multiplikationen. Das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt sind Definition (mathematische Vorgehensweisen). Die Regeln zur Bildung des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes erinnern aber an eine Art von Multiplikation (daher kommt auch das Wort “Produkt” im Namen). Im reinsten mathematischen Sinne handelt es sich aber um keine Multiplikation.

Zur Erinnerung

• Regel zur Bildung des Kreuzproduktes
  Regel zur Bildung des Skalarproduktes

An diesem Punkt sollte man damit aufhören, denn die eigentliche Frage war ja, gibt es Division-Operationen bei Vektoren:

Division bei Vektoren

Nun könnte man die Frage stellen, welches Ziel man dann nun mit der Division von Vektoren miteinander (Vektor a : Vektor b) erreichen will bzw. was man mit der Division eines Vektors durch eine Zahl erreicht.

• Division eines Vektors durch eine Zahl. Vermutet wurde zu Beginn, dass es eine Division eines Vektors gibt, da jede Division in eine Multiplikation umgewandelt werden kann. Und die Vermutung ist richtig, es ist möglich, einen Vektor durch einen Skalar, also durch eine Zahl zu teilen.

Division bei Vektoren

• Division von Vektoren miteinander: Wie vorher schon erwähnt worden ist, ist die Multiplikation von Vektoren miteinander im strengen mathematischen Sinne keine Multiplikation. Weder die sog. “innere Multiplikation” (Ergebnis ist das Skalarprodukt, das auch als inneres Produkt von Vektoren bezeichnet wird) noch die sog. “äußere Multiplikation” Ergebnis ist das Kreuzprodukt, das auch als äußeres Produkt von Vektoren bezeichnet wird) ist umkehrbar, d.h. es gibt weder eine “innere” noch eine “äußere” Division von Vektoren. Sie ist nicht definiert, für besonders Interessierte siehe *

* Anmerkung: Wie bereits ein paar Zeilen oben erwähnt, ist die Division von Vektoren nicht definiert.
Die sog. Multiplikation von Vektoren ist im strengen math. Sinn auch keine Multiplikation.
Aber: Es gibt immer wieder Leute, die behaupten, man kann Vektoren miteinander dividieren.

Und: ganz Unrecht haben diese Leute nicht, denn man kann, wenn die Vektoren zueinander kollinear sind, ein Teilverhältnis berechnen. Da dies aber weder keine Division ist noch eine vollständige Division, bleibt es dabei, die Division von Vektoren miteinander ist nicht definiert.

Division bei Vektoren – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter der Division von Vektoren?

Eine direkte Division von Vektoren ist in der linearen Algebra nicht definiert. Das liegt daran, dass die Division als Umkehroperation zur Multiplikation verstanden wird und diese ist für Vektoren nicht eindeutig definiert.

2. Warum ist eine Division von Vektoren in der linearen Algebra nicht definiert?

Die Division ist als eine Umkehroperation zur Multiplikation definiert. Da die Multiplikation für Vektoren jedoch nicht eindeutig definiert ist, ist auch die Division von Vektoren in der linearen Algebra nicht definiert.

3. Welches Konzept ähnelt der Division bei Zahlen in der Vektorrechnung?

Das Konzept, das der Division bei Zahlen in der Vektorrechnung am nächsten kommt, ist die Division eines Vektors durch eine Zahl (Skalar). Dabei werden alle Komponenten des Vektors durch diese Zahl geteilt.

4. Wie sieht die “Division” eines Vektors durch eine Zahl aus?

Man dividiert jede einzelne Komponente des Vektors durch die Zahl. Beispiel: Wenn der Vektor A=a_1i+a_2j+a_3k ist und die Zahl c≠0 ist, dann ist A/c=(a_1/c)i+(a_2/c)j+(a_3/k)k.

5. Wie ist das Skalarprodukt von Vektoren definiert?

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist das Produkt ihrer Beträge und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Es ist ein Skalar.

6. Wie ist das Kreuzprodukt von Vektoren definiert?

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, dessen Betrag gleich dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels ist. Seine Richtung ist senkrecht auf der Ebene, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

7. Was passiert, wenn man einen Vektor durch null versucht zu teilen?

Eine Division durch null ist nicht definiert. Es ergibt sich ein undefinierter Wert, der nicht im Zahlenbereich liegt.

8. Wie teilt man einen Vektor durch einen anderen Vektor?

Eine direkte Division von Vektoren ist nicht definiert. Man kann jedoch das Skalarprodukt oder das Kreuzprodukt bilden und dann durch den Betrag des zweiten Vektors teilen, sofern dieser nicht null ist.

9. Was bedeutet es, einen Vektor durch seinen Betrag zu dividieren?

Wenn man einen Vektor durch seinen Betrag teilt, erhält man einen Einheitsvektor in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor.

10. Wie berechnet man den Betrag eines Vektors?

Der Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten.