Rechnen im Dreieck – Dreieck allgemein

Allgemeines

Das Themengebiet “Rechnen im Dreieck” ist eine der wichtigsten Werkzeuge bzw. Hilfsmittel der analytischen Geometrie und kommt nicht nur in der Mathematik zum Einsatz. In den nachfolgenden Kapiteln soll jeweils kurz auf die wichtigsten Eigenschaften in einem Dreieck eingegangen werden.

Aufbau eines Dreiecks

Bei einem Dreieck handelt es sich um eine geometrische Figur, wobei die “Figur” drei Seiten und drei Ecken aufweist und somit innerhalb der euklidischen Geometrie die einfachste Figur in der Ebene darstellt. Die Eckpunkte eines Dreiecks werden immer in Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn klassifiziert, die Seiten des Dreiecks immer Kleinbuchstaben und gegenüber von den Eckpunkten.

Aufbau eines Dreiecks

Einteilung von Dreiecken

Wie bereits aus der Skizze ersichtlich, gibt es zwei wichtige Größen im Dreieck, die Winkel und die Länge der Seiten. Mit Hilfe dieser “Größen” lassen sich Dreiecke klassifizieren.

Einteilung nach der Größe des Winkels:

• Sind alle Winkel kleiner als 90°, so handelt es sich um ein spitzwinkliges Dreieck.
• Beträgt ein Winkel 90°, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
• Ist ein Winkel größer als 90° (und natürlich kleiner als 180°), so handelt es sich um ein stumpfes Dreieck (gegenüber dem stumpfen Winkel befindet sich die längste Seite des Dreiecks).

Einteilung nach der Länge der Seiten:

• Sind alle Seiten gleich lang, so handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck (in einem gleichseitigen Dreieck sind natürlich auch alle Winkel gleich).
• Sind zwei Seiten gleich lang, so handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck (in einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel gleich).
• Sind alle drei Seiten unterschiedlich lang, so handelt es sich um ein unregelmäßiges Dreieck.

Wichtige Größen in einem Dreieck:

• Die Innenwinkelsumme (die Addition aller drei Winkel) in jedem Dreieck beträgt immer 180°.
• Die Fläche eines Dreiecks ist A = ½ · c · h(c) bzw. ½ · a · h(a) bzw. ½ · b · h(b).
• In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras a² + b² = c² (Kathetenquadrat = Hypotenusenquadrat).
• Ebenfalls gilt in einem rechtwinkligen Dreieck der so. Höhensatz sowie der Kathetensatz (auch Satz von Euklid bezeichnet).

Rechnen im Dreieck – Dreieck allgemein – Testfragen/-aufgaben

1. Wie wird die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks bestimmt?

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.

2. Was ist der Satz des Pythagoras und wie wird er in Bezug auf Dreiecke angewendet?

Der Satz des Pythagoras ist eine geometrische Regel, die besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten ist.

3. Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?

Der Umfang eines Dreiecks wird berechnet, indem man die Längen aller drei Seiten des Dreiecks zusammenaddiert.

4. Erkläre, was ein gleichseitiges Dreieck ist.

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel gleich 60 Grad sind.

5. Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich lang sind und die an diesen Seiten angrenzenden Innenwinkel gleich groß sind.

6. Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks?

Die Fläche eines Dreiecks berechnet man mit der Formel: Fläche = 1/2 * Grundseite * Höhe.

7. Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem einer der Innenwinkel 90 Grad ist.

8. Erkläre, was der Sinus, Kosinus und Tangens in Bezug auf rechtwinklige Dreiecke sind.

Sinus, Kosinus und Tangens sind Trigonometrische Funktionen, die in rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden. Sie stellen das Verhältnis zwischen den Längen der Seiten des Dreiecks dar.

9. Wie berechnet man die Länge einer Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn man zwei andere Seiten kennt?

Die Länge einer Seite in einem rechtwinkligen Dreieck kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden, wenn die Längen der zwei anderen Seiten bekannt sind.

10. Nennen Sie drei Arten von Dreiecken basierend auf ihren Seitenlängen.

Dreiecke können basierend auf ihren Seitenlängen als gleichseitiges, gleichschenkliges und ungleichseitiges Dreieck eingeteilt werden.