Das Bogenmaß in der Mathematik und Physik

Allgemeines über die Maßeinheit “Bogenmaß”

Wenn wir in der Mathematik oder Physik mit Kreisbahnen rechnen, können wir die Winkel in zwei verschiedenen “Maßeinheiten” wiedergeben. So lässt sich ein Winkel einer “Kreisbahn” sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß angeben. Der Vorteil der Verwendung des Bogenmaß als Rechengröße liegt darin, dass dadurch die zugehörige Länge des Kreisbogens bekannt ist.

Das Rechnen mit dem Bogenmaß

Wie eingangs erwähnt, ist die Maßeinheit “Bogenmaß” nicht nur eine theoretische “Spielerei”, sondern findet breite Anwendung, beispielsweise in der Physik bei Berechnungen von Kreisbahnen. Gemäß der (physikalischen) Definition ist das Bogenmaß eines Winkels ist das Verhältnis aus der Länge des (zu diesem Winkel) gehörenden Kreisbogens b und der Länge des Kreisradius r.

Bogenmaß eines Winkels

Die zugehörige Formel zur Berechnung des Bogenmaß lautet:

α[rad] = b : r

Hinweis zur Einheit: Wie das “Gradmaß” ist auch das Bogenmaß ein Maß für die Größe eines bestimmten Winkels. Da das Bogenmaß eines Winkels als das Verhältnis zweier Längen ist (Bogenlänge : Länge Kreisradius) ist das Bogenmaß (eigentlich) einheitslos. Da deshalb nicht immer klar war, dass es sich bei einer Zahl um einen Winkel handelt, hat man für das Bogenmaß eine Einheit erschaffen, die Einheit Radiant (kurz: rad).

Da sowohl das Gradmaß als auch das Bogenmaß “Winkelangaben” sind, kann man das Bogenmaß und Gradmaß ineinander umrechnen, mit nachfolgenden Formeln (diese lassen sich auf folgenden Bezeichnungen herleiten: Der Gesamtwinkel eines Kreises entspricht 360°, der Umfang eines Kreises ist 2·π·r)

α[rad] = (α[°] · 2π) : 360°

α[°] = (α[rad] · 360°) : 2π

Da in der Physik (vor allem bei Schwingungen (Sinus bzw. Cosinus-Funktionen) wird auch oft das Bogenmaß in Einheiten von “π” angegeben. Wichtige Größen Bogenmaß (in n Einheiten von “π”) und Winkelmaß sind in nachfolgender Tabelle angegeben

Wann verwendet man Bogenmaß und wann das Gradmaß?

Zum einen sind Bogenmaß und Gradmaß ineinander umrechenbar, daher ist es im Prinzip egal mit welcher “Winkelgröße” man rechnet. Die meisten werden aber (aufgrund der Gewohnheit) lieber im Gradmaß rechnen. Es gibt auch keine Vorschrift, die “befiehlt”, bei einem bestimmten Rechenverfahren das Bogenmaß zu verwenden. Ein “Indiz”, dass das Bogenmaß verwendet werden soll ergibt sich immer, wenn die Winkelangabe in Einheiten von” π” oder einer Zahl (ohne die Grad-Einheit) angegeben wird (hier müsste man erst von Bogenmaß auf Gradmaß umrechnen). Ein anderes “Indiz” ist das Ziel der “Berechnung”. Will man beispielsweise die Länge eines (Kreis)Bogen bestimmen, ist es sinnvoll gleich im Bogenmaß zu rechnen.

Das Bogenmaß in der Mathematik und Physik – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter dem Begriff “Bogenmaß” in der Mathematik und Physik?

Das Bogenmaß ist eine Maßeinheit zur Bestimmung von Winkeln, die in der Mathematik und Physik verwendet wird. Es drückt den Winkel eines Kreises in Bezug auf Radiuslänge statt Gradzahl aus.

2. Welches Bogenmaß entspricht einem vollen Kreis?

Ein voller Kreis entspricht einem Bogenmaß von 2π Radiuslängen.

3. Wie wird das Bogenmaß berechnet?

Das Bogenmaß eines Winkels wird berechnet, indem man den Umfang des durch den Winkel aufgespannten Kreisabteils durch den Radius teilt.

4. Wie lässt sich das Bogenmaß eines Winkels in Grad umrechnen und umgekehrt?

Um das Bogenmaß in Grad umzurechnen, multipliziert man das Bogenmaß mit 180/π. Umgekehrt multipliziert man die Gradzahl mit π/180, um das Bogenmaß zu erhalten.

5. Wofür wird das Bogenmaß in der Physik verwendet?

Das Bogenmaß wird in der Physik verwendet, um Drehbewegungen und Winkelgeschwindigkeiten zu messen, gerade in der Mechanik und der Wellenlehre.

6. Was ist der Unterschied zwischen dem Bogenmaß und der Gradzahl?

Der Hauptunterschied besteht darin, dass das Bogenmaß den Winkel relativ zur Radiuslänge misst, während die Gradzahl sich auf die Teilung des Kreises in 360 gleiche Teile bezieht.

7. Wie lauten das Bogenmaß und die Gradzahl eines rechten Winkels?

Ein rechter Winkel hat ein Bogenmaß von π/2 und entspricht 90 Grad.

8. Wie kann man das Bogenmaß auf dem Einheitskreis darstellen?

Auf dem Einheitskreis entspricht das Bogenmaß der Länge des Bogens, der durch den Winkel aufgespannt wird. Dabei ist die Radiuslänge 1.

9. Wie lässt sich das doppelte Bogenmaß berechnen?

Das doppelte Bogenmaß eines Winkels erhält man durch Verwendung der Formel 2*α, dabei steht α für das ursprüngliche Bogenmaß.

10. Wie sieht die Formel zur Umwandlung von Grad zu Bogenmaß und umgekehrt aus?

Für die Umwandlung von Grad zu Bogenmaß verwendet man die Formel α (in rad) = α (in °) * π / 180. Umgekehrt verwendet man die Formel α (in °) = α (in rad) * 180 / π.