Satz von Pythagoras

Bei einem Dreieck handelt es sich um eine geometrische Figur, wobei die “Figur” drei Seiten und drei Ecken aufweist und somit innerhalb der euklidischen Geometrie die einfachste Figur in der Ebene darstellt. Die Eckpunkte eines Dreiecks werden immer in Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn klassifiziert, die Seiten des Dreiecks immer Kleinbuchstaben und gegenüber von den Eckpunkten.
Dabei gibt es zwei wichtige Größen im Dreieck, die Winkel und die Länge der Seiten. Mit Hilfe dieser “Größen” lassen sich Dreiecke klassifizieren: Winkel (spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, stumpfes Dreieck) und Länge der Seiten (gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, unregelmäßiges Dreieck).

Satz von Pythagoras

Wie bereits oben erwähnt ist das Dreieck die einfachste euklidische Geometrie. Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der Geometrie um Seitenlängen in Dreiecken zu berechnen.

Wichtig: Der Satz des Pythagoras ist nur in rechtwinkligen Dreiecken anwendbar, d.h. ein Winkel muss 90° ausweisen.

Satz des Pythagoras:   a² + b² = c² dabei sind “a” und “b” die Längen der Seiten, die am rechten Winkel anliegenden (diese Seiten werden auch Katheten genannt).  Das Symbol “c” ist die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite (diese Seite wird auch als Hypotenuse bezeichnet).

Skizze:

Satz von Pythagoras

 

Wozu dient der Satz von Pythagoras?

Der Satz von Pythagoras findet in der analytischen Geometrie sehr oft Anwendung:

• mit Hilfe des Satzes kann eine Seitenlänge bei einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden, wenn zwei Längen bekannt sind, z.B. a = 3 cm, b = 4 cm => c² = 3² cm² + 4² cm² = 25 cm² => c = 5 cm
• eine weitere wichtige Anwendung ist die sog. Umkehr des Satzes von Pythagoras, dabei gilt: ein Dreieck, in dem das Quadrat einer Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen ist, ist ein rechtwinkliges Dreieck.

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Satz von Pythagoras – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist der Satz von Pythagoras?

Der Satz von Pythagoras ist ein fundamentaler Grundsatz in der Geometrie, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist.

2. Wenn ein Dreieck Seitenlängen von 3, 4 und 5 hat, ist es dann ein rechtwinkliges Dreieck? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ja, es ist ein rechtwinkliges Dreieck. Wir überprüfen dies mit dem Satz von Pythagoras: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, das ist gleich der Quadrat der Länge der Hypotenuse 5².

3. Wie wird die Länge der Hypotenuse berechnet?

Die Länge der Hypotenuse wird berechnet, indem man die Quadrate der Längen der beiden Katheten addiert und daraus die Quadratwurzel zieht.

4. Was sind Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck?

Die beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden, werden als Katheten bezeichnet.

5. Wie würde man die Länge der Hypotenuse berechnen, wenn eine Kathete 6 Einheiten lang ist und die andere Kathete 8 Einheiten lang ist?

Die Länge der Hypotenuse kann berechnet werden, indem man das Quadrat der Längen der Katheten summiert und dann die Quadratwurzel daraus zieht. Also, √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10 Einheiten.

6. Wie würde man die Länge einer Kathete berechnen, wenn die Länge der Hypotenuse 10 Einheiten und die Länge der anderen Kathete 6 Einheiten ist?

Die Länge einer Kathete kann berechnet werden, indem man vom Quadrat der Länge der Hypotenuse das Quadrat der Länge der anderen Kathete abzieht und dann die Quadratwurzel daraus zieht. Also, √(10² – 6²) = √(100 – 36) = √64 = 8 Einheiten.

7. Ist der Satz von Pythagoras nur auf rechtwinklige Dreiecke anwendbar?

Ja, der Satz von Pythagoras ist nur auf rechtwinklige Dreiecke anwendbar.

8. Wie kann man mithilfe des Satzes von Pythagoras überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn das Quadrat über der längsten Seite (Hypotenuse) gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten (Katheten) ist.

9. Wie lautet eine allgemeinere Form des Satzes von Pythagoras für nicht-rechtwinklige Dreiecke, bekannt als der Gesetz der Cosinus?

Das Gesetz der Cosinus lautet: c² = a² + b² – 2ab cos(C), wobei a und b die Seitenlängen und C der eingeschlossene Winkel sind.

10. Sind alle Dreiecke, deren Seitenlängen Ganzzahlen sind, rechtwinklig?

Nein, nicht alle Dreiecke, deren Seitenlängen Ganzzahlen sind, sind rechtwinklig. Nur diejenigen, die den Satz von Pythagoras erfüllen, sind rechtwinklig.