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Die Zinseszinsformel - Aufzinsen und Abzinsen

Allgemein:
Die Zinseszinsformel ist eine der wichtigen Formeln in der Finanzmathematik und beantwortet die Frage, auf welches Endkapital ein anfängliches Kapital nach einem gewissen Zeitraum angewachsen ist, wenn das Kapital in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz verzinst wird. Fest verbunden mit der Zinseszinsrechnung sind die Begriffe "Aufzinsen" und "Abzinsen".
 

Herleitung der Zinseszinsformel:
Man kann die Zinseszinsformel realtiv einfach herleiten. Verdeutlichen kann man sich dies an einem Beispiel: man leiht jemandem eine Summe K und
vereinbart, dass sie die Summe nach einem Jahr zurückbezahlt wird. Zusätzlich wird eine Leihgebühr i (=Zinsen) vereinbart. Diese Leihgebühr wird in der Regel in % des verliehenen Betrages und pro Jahr angegeben.

Die Formel für das Kapital K1, dass man nach einem Jahr zurückbekommt wäre: K1 = K + K· i = K·(i + 1)

Nun könnte man vereinbaren, dass die Summe erst nach zwei Jahren zruückgezahlt wird. Hierbei darf natürlich nicht vergessen werden , dass nach dem ersten Jahr die "Leihgebühr" auf die Summe K1 gezahlt werden muss (Zinseszins).

Die Formel für das Kapital K2 = K1 + K1·i = K1· (1 + i) = K· (1 + i)· (1+ i) = K· (1 + i)²

Betrachtet man nun n-Perioden bzw. n-Jahre erhält man als Formel:

Kn = K (1+ i)n

Diese Formel wird auch die Zinseszinsformel bezeichnet und ist die Grundlage der einfachen Zinsrechnung.
 

Aufzinsen und Abzinsen:

  • Aufzinsen: Hierbei ist von Interesse, was aus einer Anfangssumme und einer Anlage nach n-Perioden bei einem festen Zins i geworden ist. Hierbei kann Kn nach der obig abgebildeten Formel für die Zinseszinsberechnung verwenden.
  • Abzinsen: Hierbei ist von Interessse zu berechnen, was eine Summe, die man in n-Perioden bekäme, heute wert ist. Das "Abzinsen" verwendet man daher, wenn man wissen will, welche Summe K man heute benötigt, um in n-Perioden (bei einen festen Zinssatz i) auf eine bestimmte Endsumme zu kommen. Zur Berechnung muss man die Zinseszinsformel ein wenig umstellen.
K = Kn : (1 + i)n


Umstellen der Zineszinsformel:
Je nach gesuchter Größe lässt sich die Zinseszinsformel relativ leicht umstellen:


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