Lösung einer quadratischen Gleichung

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form ax² + bx + c = 0 schreiben lässt, wobei  a ungleich Null sein muss.

Warum ist eine quadratische Gleichung so wichtig?

Einige Lösungen zu naturwissenschaftlichen Fragestellungen lassen sich nur über die quadr. Gleichung lösen. Beispielsweise die Berechnung der H₃O⁺-Konzentration einer starken Säuren in hoher Verdünnung (wässrige Lösung).

Wie löst man die quadr. Gleichung?

Wie oben bereits erwähnt, lässt sich eine quadr. Gleichung mit der Form ax² + bx + c = 0 beschreiben. Um dieses Gleichung zu Lösen gibt es eine Lösungsformel, mit ihr kann man eine quadratische Gleichung lösen, die in allgemeiner Form gegeben ist. Diese Lösungsformel x_1,2 lautet allgemein:

Dabei sind a, b und c die Koeffizienten aus der Gleichung ax² + bx + c = 0.

Die quadratische Gleichung an einem Beispiel:

Neben wir die oben genannte Gleichung zur Berechnung der H₃O⁺-Konzentration einer starken Säure in hoher Verdünnung.
Dabei wäre dann a =1, b = K_s und c = – K_sc_o

Beispiel:

Lösung einer quadratischen Gleichung – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax²+bx+c=0, wo a, b und c konstante Koeffizienten sind und a nicht null ist.

2. Was besagt die quadratische Formel?

Die quadratische Formel, x = [-b ± sqrt(b² – 4ac)] / 2a, ist eine Lösung für die quadratische Gleichung. Sie gibt die Werte von x, die die Gleichung erfüllen.

3. Wie lauten die Lösungen der quadratischen Gleichung x² – 5x + 6 = 0?

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind x = 2 und x = 3.

4. Was sind die Diskriminanten einer quadratischen Gleichung und welche Informationen geben sie uns?

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist der Ausdruck b² – 4ac. Sie gibt an, wie viele Lösungen die Gleichung hat und ob diese Lösungen reell oder komplex sind.

5. Was sind die möglichen Werte der Diskriminante und was bedeuten sie?

Die Diskriminante kann einen positiven Wert haben, null sein oder einen negativen Wert haben. Ein positiver Wert bedeutet, dass die quadratische Gleichung zwei unterschiedliche realen Lösungen hat. Eine Diskriminante von null bedeutet, dass es genau eine reale Lösung gibt. Ein negativer Wert bedeutet, dass es zwei komplexe Lösungen gibt.

6. Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel und wie berechnet man ihn?

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Punkt, an dem sie den höchsten oder niedrigsten Punkt erreicht. Er kann durch die Formel (-b/2a, f(-b/2a)) berechnet werden, wobei f die Funktion der Parabel ist.

7. Was ist die p-q-Formel und wie wird sie angewendet?

Die p-q-Formel ist eine Methode zur Lösung von quadratischen Gleichungen, die in die Form x² + px + q = 0 transformiert werden können. Die Lösungen sind dann gegeben durch x = -p/2 ± sqrt((p/2)² – q).

8. Wie löst man die quadratische Gleichung x² – 3x – 4 = 0 nach der p-q-Formel?

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind x = 4 und x = -1.

9. Wie beeinflusst der Wert des Koeffizienten a die Form der Parabel?

Der Koeffizient a beeinflusst die Öffnungsrichtung und die Steilheit der Parabel. Wenn a positiv ist, öffnet die Parabel nach oben und bei einem negativen a öffnet sie nach unten. Je größer der Betrag von a, desto steiler ist die Parabel.

10. Was ist der Unterschied zwischen einer quadratischen Gleichung und einer quadratischen Funktion?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die eine Unbekannte enthält und durch eine quadratische Funktion repräsentiert werden kann. Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die die Form f(x) = ax² + bx + c hat, wobei f(x) der Funktionswert für ein gegebenes x ist.