In den Naturwissenschaften ist die Fachsprache, einen gewissen Sachverhalt mathematisch oder physikalisch auszudrücken, genauso wichtig, wie die Sprache zum alltäglichen Leben gehört. Ohne korrekte Sprache bzw. Ausdrücke können wir auch naturwissenschaftliche Inhalte nicht korrekt wiedergeben. Zu den Naturwissenschaften gehört auch, mathematische, chemische und physikalische Zusammenhänge mit einer Formel wiedergeben. Dabei stellt sich oft die Frage, ob man in den Naturwissenschaften Formeln einfach umstellen darf
Formeln umstellen in den Naturwissenschaften
Zum Wesen der Chemie gehört das Aufstellen von chemischen Formeln (mithilfe der Elementsymbole) und Reaktionsgleichungen. Eine Reaktionsgleichung lautet immer: Ausgangsstoff1 und Ausgangsstoff2 reagieren zu Produkt1 und Produkt2. Obwohl eine Reaktionsgleichung keine mathematische Gleichung ist (daher schreibt man auch einen Reaktionspfeil und kein Gleichheitszeichen), können auf beiden Seiten des Reaktionspfeils die chemischen Formeln umgestellt werden.
Ausgangsstoff1 + Ausgangsstoff2 => Produkt1 + Produkt2 ist genauso richtig wie
Ausgangsstoff2 + Ausgangsstoff1 => Produkt2 + Produkt1
Das Umstellen von Elementsymbolen innerhalb einer chemischen Formel ist hingegen nicht möglich. Gemäß den IUPAC-Regeln (siehe entsprechendes Kapitel in Chemie) gilt hier eine international gültige Schreibweise, ein Umstellen in der Formel ist nicht erlaubt. So lautet die Formel von Natriumchlorid NaCl und nicht ClNa.
In der Mathematik hat man es nicht nur mit reinen Zahlen zu tun, sondern auch oft mit Variablen, beispielsweise in Gleichungssystemen. Ein bekanntestes Beispiel ist die quadratische Gleichung: ax² + bx + c = 0
Dabei steht man in der Mathematik oft vor der Aufgabe, eine Formel umstellen zu müssen, da diese meist nicht so vorgegeben ist, dass wir das aus der Formelsammlung gleich die richtige Lösung erkennen.
Im Gegensatz zur Chemie haben wir in der Mathematik Gleichungen vorliegen, die linke Seite “ist gleich” der rechten Seite. Daher befindet sich zwischen beiden Seiten der Gleichung auch das Gleichheitszeichen. Daher lautet auch die wichtigste Regel: Führt man auf der linken Seite eine Rechenoperation durch, muss diese Rechenoperation auch auf der rechten Seite der Gleichung angewandt werden.
Beispiel:
3 + 2 = 5 (addieren wir auf beide Seiten die Zahl “2” hinzu, ist die Gleichung auch korrekt)
3 + 2 + 2 = 5 + 2
Das Formeln umstellen in der Mathematik nicht ganz einfach ist (und teilweise auch noch in der Oberstufe zu Problemen führt) liegt vor allem an der Aufgaben “Klammern auflösen”. Klammern (um Formeln) sind eine spezielle Rechenfunktion und setzen “herkömmliche” Grundregeln wie die “Punkt-vor-Strich-Regel” außer Kraft.
Die wichtigsten drei Rechenregeln beim Umstellen von Formeln sind
Nachdem wir nun in einer Gleichung die Formeln umgestellt haben, ist das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem der nächste Schritt, n nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die Aussage gilt. Zur Lösung von Gleichungssystemen verwendet man in der Schule drei Lösungsverfahren – Einsetzungsverfahren, Äquivalenzverfahren und das Gaußverfahren.
In der Physik lassen sich alle physikalischen Phänomene mit einer Formel bzw. einer Gleichung wiedergeben. Oft will man mit Hilfe einer physikalischen Gleichung nur eine Formel bzw. physikalische Größe bestimmen. Daher müssen im Fach Physik auch oft Formeln umgestellt werden.
Oft müssen in der Physik einzelne Formeln bzw. Größen zusammengefasst werden. Hierzu verwendet man wie in der Mathematik das Prinzip des Ausklammerns.
Beispiel: 3·Masse m + 5·Masse m = Masse m · (3 + 5)
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Indem man die Geschwindigkeitsformel (V = S/T) nimmt und sie nach der Zeit umstellt, erhält man: T = S/V.
Um diese zu lösen, würden wir zuerst alle anderen Terme auf die andere Seite der Gleichung bringen und erhalten dann (v² = 2*(constant – p – ρgh)/ρ). Die Lösung durch Wurzelziehen bringt uns zu v =√ [2*(constant – p – ρgh)/ρ].
Der erste Schritt besteht darin, beide Seiten der Gleichung durch v²/r zu teilen, was uns m = F*r/v² liefert.
Wir teilen zuerst beide Seiten der Gleichung durch 1/2*m, und dann ziehen wir die Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung, was uns v = √(2E/m) bringt.
Impulserhaltung bedeutet, dass p1=p2 oder m1v1=m2v2. Daher ist v2=(m1*v1)/m2, wenn es umgestellt wird, um nach v2 zu lösen.
Um T zu lösen, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch nR, was zu T = PV/nR führt.
Um den Widerstand R zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch I, um R = V/I zu erhalten.
Um die Masse m zu isolieren, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit v, um m = ρ*v zu erhalten.
Um nach d zu lösen, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch F*cos(θ), um d = W/(F*cos(θ)) zu erhalten.
Um nach h zu lösen, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch mg, um h = PE/(mg) zu erhalten.