Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein). Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren (je nach Anzahl an Variablen in der Gleichung wird ein Lösungsverfahren bevorzugt). Beim Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung wird ein ähnliches Lösungsverfahren verwendet, wie beim Lösen einer Gleichung. Allerdings mit einem großen Unterschied, so benötigt man für einige Ungleichungen Fallunterscheidungen. Meistverwendete Lösungsverfahren sind:
Gauß-Verfahren (für zwei und mehr Variablen, lineares Gleichungssystem): Das Gauß-Verfahren besteht aus einer mehrfachen Wiederholung des Additionsverfahrens. Beim Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) wird durch Addition (bzw. Subtraktion) zweier Gleichungen eine Variable heraus gekürzt und kann so nach der anderen Variablen lösen.
Wiederholung: lineares Gleichungssystem mit zwei oder mehreren Variablen bedeutet, dass eine Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekannten / Variablen (meist als “x” und “y” bezeichnet) vorliegt, die Variablen liegen dabei in der Gleichung mit “hoch 1” vor (kein x² oder x³).
Der Algorithmus von Gauß ist das universelle Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme. Mithilfe des Gaußverfahrens lässt sich auch relativ schnell sagen, wie viele Lösungen eine Gleichung hat. Ziel des Gaußverfahrens ist es, ein lineares Gleichungssystem in die sog. Stufenform zu bringen. Stufenform bedeutet, dass jede nachfolgende Gleichung eine Variable weniger hat, als die Gleichung davor.
Beispiel:
Gegeben sind drei Gleichungen (zum Lösen von 3 Variablen benötigt man mind. 2 Gleichungen) bzw. n-Gleichungen (zum Lösen von n-Variablen benötigt man n-Gleichungen).
Gleichung 1: 3x + 6y -3z = 6
Gleichung 2: -x + y + 2z = 9
Gleichung 3: 4x + 6y – 6z = -2
Damit nun das Gaußverfahren angewandt werden kann, muss zuerst aus Gleichung 2 und Gleichung 2 die Variable x eliminiert werden. Dazu wird ein geeignetes Vielfaches der Gleichung 1 zur Gleichung 2 bzw. zur Gleichung 3 addiert.
Gleichung 1: 3x + 6y -3z = 6
Gleichung 2: -x + y + 2z = 9 / neue Gleichung 2.1 => Gleichung 1 + 3·Gleichung 2
Gleichung 3: 2x + 3y – 3z = -1 / neue Gleichung 3.1 => 2·Gleichung 1 + (-3)·Gleichung 3
Gleichung 1.0: 3x + 6y – 3z = 6
Gleichung 2.1: 9y + 3z = 33
Gleichung 3.1 3y + 3z = 15
Damit nun das Gaußverfahren angewandt werden kann, muss nun aus Gleichung 2 die Variable y eliminiert werden. Dazu ein geeignetes Vielfaches der Gleichung 2 zur Gleichung 3 addiert.
Gleichung 1.0: 3x + 6y – 3z = 6
Gleichung 2.1: 9y + 3z = 33
Gleichung 3.1 3y + 3z = 15 /neue Gleichung 3.2 => Gleichung 2.1 + (-3)·Gleichung 3.1
Gleichung 1.0: 3x + 6y – 3z = 6
Gleichung 2.1: 9y + 3z = 33
Gleichung 3.1 -6z = -12
Nun lässt sich bereits ermitteln, wie viele Lösungen es geben wird: Dazu betrachten man die nun gebildete Stufenform. Dabei sind folgende Möglichkeiten vorstellbar:
Zurück zur obigen Stufenform:
Gleichung 1.0: 3x + 6y – 3z = 6
Gleichung 2.1: 9y + 3z = 33
Gleichung 3.1 -6z = -12
Mithilfe der Stufenform lässt sich schlussfolgern, dass es genau eine Lösung geben wird (letzte Zeile: Variable = Wert)
aus Gleichung 3.1 folgt: z = 2
in Gleichung 2.1 9y + 3z = 33 / z = 2 einsetzen
9y + 3·(2) = 33 / ausmultiplizieren
9y +6 = 33 / beide Seiten mit “-6” erweitern
9y = 27 / beide Seiten durch “3” teilen
y = 3
in Gleichung 1.0 3x + 6y – 3z = 6 / z = 2 und y = 3 einsetzen
3x + 6·(3) -3·(2) = 6 / ausmultiplizieren
3x + 18 -6 = 6 / zusammenfassen
3x + 12 = 6 / beide Seiten mit “-12” erweitern
3x = – 6 / beide Seiten durch “3” teilen
x = – 2
Somit erhält man eine eindeutige Lösung: x = -2, y = 3 und z = 2
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Dabei wird durch Umformen der Gleichungen versucht, das Gleichungssystem so zu vereinfachen, bis die Lösung direkt ablesbar ist.
Im Allgemeinen gibt es drei Schritte beim Gaußschen Eliminationsverfahren: Vorwärtselimination, Rückwärtseinsetzen und ggf. Abtauschen von Gleichungen.
In der Vorwärtselimination werden die Gleichungen so umgeformt, dass in der erweiterten Koeffizientenmatrix unter der Hauptdiagonale nur noch Nullen stehen.
Beim Rückwärtseinsetzen werden die Lösungen der Gleichungen berechnet, beginnend mit der letzten Gleichung.
Abtauschen von Gleichungen wird durchgeführt, wenn auf der Hauptdiagonale während der Vorwärtselimination eine Null steht. In diesem Fall wird die betreffende Gleichung mit einer anderen getauscht.
Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist eine Darstellung eines linearen Gleichungssystems in Matrixform, bei der die Koeffizienten der Gleichungen und die rechte Seite der Gleichungen in einer Matrix dargestellt werden.
Die Hauptdiagonale bildet die Basis für das Eliminationsverfahren. Das Ziel der Vorwärtselimination ist es, unter der Hauptdiagonale ausschließlich Nullen zu erhalten.
Das Gauß-Jordan-Verfahren ist eine Erweiterung des Gaußschen Eliminationsverfahrens, bei dem die Matrix weiter vereinfacht wird, sodass die resultierende Matrix eine Einheitsmatrix ist.
Beim Gauß-Jordan-Verfahren werden zusätzlich zu den Elementen unter der Hauptdiagonalen auch die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen zu Nullen gemacht.
Das Ziel des Gaußschen Eliminationsverfahrens ist es, das Gleichungssystem zu einer Form zu bringen, in der die Lösungen direkt ablesbar oder leicht ermittelbar sind.